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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001384]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第29章 无穷数列的和与一个温文尔雅的骗子
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从外表看来，“数学”这个家伙有种说一不二的强硬性格，如同一位令人恐惧的黑手党首领，数学一旦做了什么决定，就是一锤定音、令出必行，没有任何商量的余地。数学给出的结论都是一些让你无法拒绝也毫无辩驳机会的结论。
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但是私底下，数学也会有缺乏安全感的时候。它也有怀疑、忧虑和脆弱，也会不清楚自己做的到底是对还是错。尤其当遇到无穷大的问题的时候，数学会夜不能寐，整夜地担忧和挣扎，被存在的恐惧感所折磨。在数学的发展历史上，无穷大的引入不止一次造成过混乱和恐慌，有时整个数学王国甚至都走到了崩溃的边缘，那实在是相当凶险的处境。
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在美国有线电视网络媒体公司（HBO）播出的电视剧《黑道家族》中，黑帮老大托尼·索普莱诺发现自己的母亲竟然想杀了自己，他因此感到极度焦虑，不得不去看精神科医生。可见，黑帮老大也有恐慌和脆弱的时候，在凶狠的外表下，隐藏着的是一颗恐惧而迷惑的心。
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同样，微积分也遇到过这样的危机。在微积分最风光的时候，它也曾有恐惧不安的时刻。几个世纪以来，微积分所向披靡、不可一世，它毫不费力地横扫眼前的一切问题，解决得干净利落。但在内心里，微积分知道自己体内某些本质的问题一直在隐隐作痛。昔日让它功成名就的东西——它处理“无穷”时那无所畏惧的强硬态度——正是今日要将它彻底摧毁的祸根。幸好，经过治疗，微积分终于顺利度过了危机，这种治疗方法的名字叫作“分析”。
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18世纪的时候，数学家们曾被这样一个无穷数列所困扰：
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1－1＋1－1＋1－1 + ……
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这个数列并不复杂，它描述了一种无穷的摇摆状态：前进一步，再后退一步，又前进一步，再后退一步，不断重复，直至无穷。
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问题是：这个数列能成立吗？如果能的话，它的和是多少呢？
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面对这样一个无穷数列，乐观主义者会试图把我们在有限求和时总结出的那些规律拿出来，看看能不能用在无限求和的问题上。比如说，我们知道1＋2 = 2＋1。两数或多数相加时，我们可以任意改变两个数的位置，而求和结果不变：a＋b = b＋a，这就是加法交换律。当两个以上的数相加时，我们还可以在算式中随意加入括号，将几个数组合起来，最后的结果也会保持不变。比如，（1＋2）＋4 = 1＋（2＋4）。不管是先算1＋2，再加上4；还是先算2＋4，再加上1，结果都是一样的，这就是加法结合律。当一个求和数列里有加法有减法时，这些规律同样适用，只要记住“减去一个数等于加上相应的负数”这个原则就可以了。比如，从上面的无穷数列中截出3项：1－1＋1等于多少呢？我们可以将这个算式看作（1－1）＋1，也可以把它看作1＋（－1＋1）。在第二个算式里，我们把减去1的运算换成了加上－1的运算，显然这两种算法是等价的。不管用哪种方法计算，1－1＋1都等于1。
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但是，当我们从有限求和转为无限求和，就会有些不愉快的问题出现。如果我们对上述无穷数列使用加法结合律，会出现什么情况呢？一种做法是把每对＋1和－1结合起来，上述数列就会变成：
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1－1＋1－1＋1－1＋……
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=（1－1）＋（1－1）＋（1－1）＋……
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= 0＋0＋0＋……
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= 0
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另一种做法是把第一个1留下来，后面的每两个－1和1互相组对：
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1－1＋1－1＋1－1＋……
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= 1＋（－1＋1）＋（－1＋1）＋（－1＋1）＋……
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= 1＋ 0＋0＋0＋……
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= 1
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这两种算法都有道理，也不存在一种算法比另一种算法更好的情况。那么，难道这个数列的和既是0又是1？这个结论在今天听起来很荒谬，但在当时竟然有不少数学家都觉得这个某谬的结论是可以接受的——既然上帝能从虚无中创造世界，那么一个数列的和就可以既是0又是1。1703年，当时的一位牧师身份的数学家吉多·格兰迪这样写道：“如果我愿意的话，只要在1－1＋1－1＋1－1＋……这个数列里以不同的方式加入括号，就可以得到0或者1这两种答案。由此可以看出，神造世界、无中生有这个概念是非常有说服力的。”
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虽然这么说，格兰迪还是更喜欢第三种答案。这个答案的结果并非0和1，你能猜出结果是什么吗？我想，你会用一种开玩笑但又极具专业性的口吻说：“那应该是1/2吧。”
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没错，格兰迪认为，这个无限数列真正的和是1/2。不仅格兰迪这么认为，当时一些比他更出色的数学家，比如莱布尼茨和欧拉，也认为这个数列的和是1/2。证明这个数列的和是1/2有很多不同的方法，其中最简单的一种是，把这个数列的和表示为这个数列的和的一个等式，再解出这个和。让我们用S来表示这个数列的和，根据定义可表示为：
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