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1701003865 X的奇幻之旅:在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001384]
1701003866 X的奇幻之旅:在现实生活中发现数学思维之美 第29章 无穷数列的和与一个温文尔雅的骗子
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1701003868 从外表看来,“数学”这个家伙有种说一不二的强硬性格,如同一位令人恐惧的黑手党首领,数学一旦做了什么决定,就是一锤定音、令出必行,没有任何商量的余地。数学给出的结论都是一些让你无法拒绝也毫无辩驳机会的结论。
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1701003870 但是私底下,数学也会有缺乏安全感的时候。它也有怀疑、忧虑和脆弱,也会不清楚自己做的到底是对还是错。尤其当遇到无穷大的问题的时候,数学会夜不能寐,整夜地担忧和挣扎,被存在的恐惧感所折磨。在数学的发展历史上,无穷大的引入不止一次造成过混乱和恐慌,有时整个数学王国甚至都走到了崩溃的边缘,那实在是相当凶险的处境。
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1701003872 在美国有线电视网络媒体公司(HBO)播出的电视剧《黑道家族》中,黑帮老大托尼·索普莱诺发现自己的母亲竟然想杀了自己,他因此感到极度焦虑,不得不去看精神科医生。可见,黑帮老大也有恐慌和脆弱的时候,在凶狠的外表下,隐藏着的是一颗恐惧而迷惑的心。
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1701003877 同样,微积分也遇到过这样的危机。在微积分最风光的时候,它也曾有恐惧不安的时刻。几个世纪以来,微积分所向披靡、不可一世,它毫不费力地横扫眼前的一切问题,解决得干净利落。但在内心里,微积分知道自己体内某些本质的问题一直在隐隐作痛。昔日让它功成名就的东西——它处理“无穷”时那无所畏惧的强硬态度——正是今日要将它彻底摧毁的祸根。幸好,经过治疗,微积分终于顺利度过了危机,这种治疗方法的名字叫作“分析”。
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1701003879 18世纪的时候,数学家们曾被这样一个无穷数列所困扰:
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1701003881 1-1+1-1+1-1 + ……
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1701003883 这个数列并不复杂,它描述了一种无穷的摇摆状态:前进一步,再后退一步,又前进一步,再后退一步,不断重复,直至无穷。
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1701003885 问题是:这个数列能成立吗?如果能的话,它的和是多少呢?
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1701003887 面对这样一个无穷数列,乐观主义者会试图把我们在有限求和时总结出的那些规律拿出来,看看能不能用在无限求和的问题上。比如说,我们知道1+2 = 2+1。两数或多数相加时,我们可以任意改变两个数的位置,而求和结果不变:a+b = b+a,这就是加法交换律。当两个以上的数相加时,我们还可以在算式中随意加入括号,将几个数组合起来,最后的结果也会保持不变。比如,(1+2)+4 = 1+(2+4)。不管是先算1+2,再加上4;还是先算2+4,再加上1,结果都是一样的,这就是加法结合律。当一个求和数列里有加法有减法时,这些规律同样适用,只要记住“减去一个数等于加上相应的负数”这个原则就可以了。比如,从上面的无穷数列中截出3项:1-1+1等于多少呢?我们可以将这个算式看作(1-1)+1,也可以把它看作1+(-1+1)。在第二个算式里,我们把减去1的运算换成了加上-1的运算,显然这两种算法是等价的。不管用哪种方法计算,1-1+1都等于1。
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1701003889 但是,当我们从有限求和转为无限求和,就会有些不愉快的问题出现。如果我们对上述无穷数列使用加法结合律,会出现什么情况呢?一种做法是把每对+1和-1结合起来,上述数列就会变成:
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1701003891 1-1+1-1+1-1+……
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1701003893 =(1-1)+(1-1)+(1-1)+……
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1701003895 = 0+0+0+……
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1701003897 = 0
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1701003899 另一种做法是把第一个1留下来,后面的每两个-1和1互相组对:
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1701003901 1-1+1-1+1-1+……
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1701003903 = 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+……
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1701003905 = 1+ 0+0+0+……
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1701003907 = 1
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1701003909 这两种算法都有道理,也不存在一种算法比另一种算法更好的情况。那么,难道这个数列的和既是0又是1?这个结论在今天听起来很荒谬,但在当时竟然有不少数学家都觉得这个某谬的结论是可以接受的——既然上帝能从虚无中创造世界,那么一个数列的和就可以既是0又是1。1703年,当时的一位牧师身份的数学家吉多·格兰迪这样写道:“如果我愿意的话,只要在1-1+1-1+1-1+……这个数列里以不同的方式加入括号,就可以得到0或者1这两种答案。由此可以看出,神造世界、无中生有这个概念是非常有说服力的。”
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1701003911 虽然这么说,格兰迪还是更喜欢第三种答案。这个答案的结果并非0和1,你能猜出结果是什么吗?我想,你会用一种开玩笑但又极具专业性的口吻说:“那应该是1/2吧。”
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1701003913 没错,格兰迪认为,这个无限数列真正的和是1/2。不仅格兰迪这么认为,当时一些比他更出色的数学家,比如莱布尼茨和欧拉,也认为这个数列的和是1/2。证明这个数列的和是1/2有很多不同的方法,其中最简单的一种是,把这个数列的和表示为这个数列的和的一个等式,再解出这个和。让我们用S来表示这个数列的和,根据定义可表示为:
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