1701006251
我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004204]
1701006252
我和数学有约：趣味数学及算法解析 4.10 几何尺规作图问题
1701006253
1701006254
1701006255
1701006256
1701006257
图4-10 圆规画图
1701006258
1701006259
几何尺规作图问题，看起来好像是很简单的，并没有那么麻烦，因为我们从小学就开始尺规作图了，拿一把直尺和一个圆规，基本能够实现所学习和认知范围内的图形，具体的尺规作图如图4-10所示。
1701006260
1701006261
【问题】那么，什么是“几何尺规作图问题”呢?
1701006262
1701006263
【分析】
1701006264
1701006265
“几何尺规作图问题”是指只能用直尺和圆规作图，而这里的直尺是指没有刻度只能画直线的尺子。
1701006266
1701006267
“几何尺规作图问题”作为一个千禧难题，为什么这么难呢？有什么特殊的要求吗？在大数学家眼中，具体的“几何尺规作图问题”如下。
1701006268
1701006269
“几何尺规作图问题”包括以下四个问题。
1701006270
1701006271
（1）化圆为方——求作一正方形使其面积等于一已知圆的面积
1701006272
1701006273
具体的正方形和圆形如图4-11所示。
1701006274
1701006275
1701006276
1701006277
1701006278
图4-11 圆与正方形
1701006279
1701006280
1701006281
1701006282
1701006283
这个问题看起来很简单，但是仔细去研究就会发现，正方形的面积等于一个已知圆的面积，而我们的圆的面积表达式为，其中r为圆的半径，，π为一个无理数，因此很难找到一个数使得，其中a为正方形的边长。已经有人证明，此命题“采用尺规作图，求作一正方形使其面积等于一已知圆的面积”是不成立的。
1701006284
1701006285
（2）三等分任意角
1701006286
1701006287
具体的角的二等分和三等分示意图如图4-12和图4-13所示。
1701006288
1701006289
1701006290
1701006291
1701006292
图4-12 角AOB二等分 图4-13 角AOD三等分 如图4-12所示，对于二等分一个角AOB，采用尺规作图划分平均线是很容易得到的。但是对于如图4-13所示的三等分角而言，问题就没那么容易了，三等分顾名思义就是一个角需要除以3，而3是质数，对于任意的角θ而言，不能保证是有理数的，因此三等分任意角成为一个尺规作图难题，已经有人证明，此命题“采用尺规作图，三等分任意角”是不成立的。
1701006293
1701006294
（3）倍立方——求作一立方体使其体积是一已知立方体体积的二倍
1701006295
1701006296
如图4-14所示为一个小立方体，其体积等于如图4-15所示立方体体积的一半。
1701006297
1701006298
1701006299
1701006300
