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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004207]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 5.1 分形维数
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【问题】什么是分形呢？
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【分析】
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目前关于分形还没有严格的数学定义，只有一些描述性的定义。简单地说，分形是没有特征长度（所谓特征长度，是指所考虑的集合对象所含有的各种长度的代表者，例如一个球，可用它的半径作为它的特征长度），但具有一定意义的自相似图形和结构的总称。
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曼德尔布罗特川最先引入分形（fractal）一词，意为破碎的、不规则的，并且曾建议将分形定义为整体与局部在某种意义下的对称性的集合，或者具有某种意义下的自相似性的集合；他曾给出一个尝试性的定量刻画，说分形是其豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数的集合。但是所有这些定义都不够全面、不够精确。
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英国数学家Falconer在其所著《分形几何的数学基础及应用》一书中认为，分形的定义应该以生物学家给出“生命”定义的类似方法给出，即不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求分形的特性，将分形看作具有如下所列性质的集合：
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（1）集合具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。
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（2）集合是不规则的，以至于不能用传统的几何语言来描述。
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（3）集合通常具有某种自相似性，或是近似的或是统计意义下的。
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（4）集合在某种方式下定义的“分形维数”通常大于集合的拓扑维数。
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（5）集合的定义常常是非常简单的，或者是递归的。
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在自然界中，很多的自然景观就具有自相似性。如云彩、山脉、海岸线、火焰和水波等，只要抽象出这些自然景观的某些特征，再不断放大，就可以得到整体。
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现实中的自然景观如图5-1所示。
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大自然向我们展示着惊叹的分形对称美，下面让我们来了解几个分形概念。
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图5-1 神奇的分形树
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（1）自相似性是指局部的形态与整体的形态相似。
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（2）形态、功能和信息等方面具有自相似性的对象称为分形。
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（3）分形在所有尺寸下都有无限的细节，因而完全由计算机不可能产生精确的分形，只要计算机运算速度和屏幕分辨率允许，精度可任意提高。
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（4）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。
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（5）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
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（6）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。
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了解这些概念后，我们知道，自然界能够天然形成分形图形，那么采用我们的计算机是否也同样能够完美逼真的模拟分形学理论呢？
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【问题】怎么模拟现实的分形图形？
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