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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004257]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 8.3 Galton钉板实验
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Galton钉板试验是英国生物统计学家Galton设计的，具体的工况如图8-9所示。
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图8-9 Galton钉板试验工况
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为了较清晰地研究该问题，如图8-10示，在一板上钉有n=5排钉子，图8-10中15个圆点表示15颗钉子，在钉子的下方有n+1个格子，编号分别为0，1，2，…，n。从Galton钉板的上方扔进一个小球任其自由下落，在下落的过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落下的机会相等。碰到下一排钉子时又是如此。最后落入底板中的某一个格子，图中用一条折线显示小球下落的一条轨迹。
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图8-10 模拟Galton钉板试验
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【问题】向Galton钉板扔进一个小球，显然不能预测小球会落到哪一个格子，如果不断重复扔进过程，将会发生什么结果呢？
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【分析】
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（1）采用计算机模拟Galton钉板试验，具体实现过程如下。
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①确定钉子的位置。将钉子的横、纵坐标存储在一个矩阵中；
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②模拟了小球从顶端随机地落入某一格子的过程。设向右的概率为p，向左的概率为q=1-p；将[0,1]分成两段，区间[p,p]和(p,1]。利用rand[ ]产生一个介于0和1之间的随机数u，如果随机数，让小球落向左边，否则落向右边；将这一过程重复n次，并用直线连接小球落下时所经过的点。
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③模拟小球堆积的形状。输入扔球次数m，计算落在第i个格子的小球数mi在总球数m中所占的比例，这样当模拟结束时，就得到了频率，用频率反映小球堆积的形状。
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④利用movie完成实时动画设计，观察每一次实验结果。
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选取p=0.5，编写MATLAB程序如下：
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clc,clear,close all %清屏和清除变量 warning off %消除警告 %Galton钉板试验 %设置参数 m = 100; n=6; y0=2; ballnum = zeros(1,n+1); %初始化设置 p=0.5; %概率 q=1-p; figure(‘color’,[1,1,1]) %设置图形背景为白色 for i=n+1:-1:1 %创建钉子的坐标x,y x(i,1)=0.5*(n-i+1); y(i,1) = (n-i+1)+y0; for j=2:i x(i,j)=x(i,1)+(j-1)*1; y(i,j)=y(i,1); end end mm =moviein(m); for i=1:m s=rand(1,n); %产生n个随机数 xi=x(1,1); yi=y(1,1); k=1;l=1; for j=1:n plot(x(1:n,:),y(1:n,:),‘o’,x(n+1,:),y(n+1,:),’.-‘); %画钉子的位置 axis([-2,n+2,0,y0+n+1]) hold on k=k+1; if s(j):n],ballnum1) axis([-2,n+2,0,y0+n+1]) %画各格子的频率 mm(i)=getframe; hold off %放弃图形保持句柄 end movie(mm,1) %播放动画一次
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运行程序输出图形如图8-11和图8-12所示。
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图8-11 运动模拟1 图8-12 运动模拟2 （2）用二项分布描述Galton钉板模型，具体实现过程如下。
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小球自上方落下，经过n个钉子。每经过一个钉子时只有两种可能结果：向左或向右，这是一个具有两个结果（成功和失败）的随机试验E，将向右视为成功，其概率为p，向左视为失败，其概率为1-p。小球碰到一个钉子下落一格，相当于进行了一次试验E，自顶端落下，碰到n个钉子，最终落到某个格子的过程，恰好相当于将试验E重复了n次，因此一次投球过程就是一个n重贝努利试验。n重贝努利试验的成功次数X正好就是小球向右移动的次数，是一个随机变量，根据概率论的结果，它服从二项分布，即X～B（n，p）。其取值与模拟模型的对应关系如表8-4所示。
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表8-4 格子编号与随机变量取值对应表
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