1701010414
我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004273]
1701010415
我和数学有约：趣味数学及算法解析 9.6 三角形的重心
1701010416
1701010417
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心称为三角形的五心。
1701010418
1701010419
三角形的五心定理如下。
1701010420
1701010421
（1）重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
1701010422
1701010423
（2）外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
1701010424
1701010425
（3）垂心定理：三角形的三条高交于一点。
1701010426
1701010427
（4）内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。
1701010428
1701010429
（5）旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。三角形有三个旁心。
1701010430
1701010431
三角形重心是三角形三边中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。三条中线必相交，交点命名为“重心”。
1701010432
1701010433
重心具有以下性质：
1701010434
1701010435
①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
1701010436
1701010437
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
1701010438
1701010439
③重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
1701010440
1701010441
④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为：
1701010442
1701010443
1701010444
1701010445
1701010446
⑤三角形内到三边距离之积最大的点。
1701010447
1701010448
1701010449
⑥在ΔABC中，若，则O点为ΔABC的重心，反之也成立。
1701010450
1701010451
⑦设ΔABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量：
1701010452
1701010453
1701010454
1701010455
1701010456
1．重心到三顶点矢量和为0
1701010457
1701010458
【问题】如图9-16所示，三角形重心向量形式的充要条件：设O为ΔABC所在平面上的一点，O为ΔABC的重心，则有：
1701010459
1701010460
1701010461
1701010462
1701010463
