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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004277]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 10.1 巧用回归方程
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【问题】什么是回归方程？
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【分析】
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回归方程是根据样本资料通过回归分析所得到的反映一个变量（因变量）对另一个或一组变量（自变量）的回归关系的数学表达式。回归直线方程用得比较多，可以用最小二乘法求回归直线方程系数，从而得到回归直线方程。
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以下将用一个实例，介绍如何巧用回归方程解决我们感兴趣的房价模型。实例中需要采用回归方程的思想构建GDP和房价的函数关系。
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对于如此简单的回归分析，采取一般的手算将非常复杂，而且出错率极高；然而采用计算机来进行计算，只需要0.3秒即可完成运算。因此，回归方程的应用——计算机化，带给人们全新的解决问题的思路。
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房价上涨，居民买房“难”是屡见不鲜的事了。对于百姓、房地产商和政府，如何根据国情拟定合理的方案是必要的。当前，综合地价、建筑成本、相关配套费、税收、利润和管理费用的不断上涨，楼盘价格不断升温，怎样根据人均GDP收入来设定平均房价，使得居民买得起房，房地产商有钱可赚，国家的支柱产业得以健康发展，这个问题得依靠数学建模来解决。
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表10-1中为某地区的平均房价及人均GDP等数据。
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表10-1 该地区的人均GDP及平均房价数据
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时间：年 平均房价：元/平米 人均GDP：元 1997 767 3540 1998 895 3783 1999 995 3916 2000 1117 4239 2001 1261 4922 2002 1437 5560 2003 1640 6399 2004 1957 7842 2005 2244 9116 2006 2489 10879 2007 2801 13475 2008 3096 16737 2009 3500 18745 【问题】研究该地区人均GDP与房价的关系。
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【分析】
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我们常用的方法是采用数形结合的方法进行数据分析，即根据人均GDP与平均房价的函数图像能大致的求出人均GDP与平均房价的函数关系。
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根据人均GDP与平均房价函数点迹的分布，绘制图形如图10-1所示。
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图10-1 GDP与房价散点图
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我们知道，当GDP达到一定程度时，即人们物质基础足够丰富时，房价将逐渐处于饱和，然后随着GDP的上升，人们开始追求其他享受，房价将不断地回落，因此房价应该呈现如图10-2所示的图形。
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图10-2 二次函数逼近
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由图10-1和图10-2所示，该地区人均GDP在该段时间内发展符合倒U曲线理论，由此设模型：
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其中，x为人均GDP，y为平均房价。
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（1）采用人工计算
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回归方程求解，需要采用最小二乘法的思路进行逐步求解，具体的求解变量如下：
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