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数学世界的探奇之旅 [:1701011742]
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数学世界的探奇之旅 数学世界的探奇之旅
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[英] 布赖恩·克莱格 著
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胡小锐 译
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中信出版社
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数学世界的探奇之旅 献给吉莲、丽贝卡和切尔西
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数学世界的探奇之旅 当把数学原理应用于现实时，它们是不确定的；当它们确定时，又不适用于现实。
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——阿尔伯特·爱因斯坦，《相对论杂谈》（1922）
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数学世界的探奇之旅 第1章 虚拟的“居民”？
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本书将探讨一个非常重要的问题：数字，或者说广义的数学，是一种真实的存在吗？这个问题对于科学家乃至我们所有人而言都具有非常重要的意义。然而，包括科学家在内的大多数人几乎从来不会考虑这个问题。
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乍一看，这似乎是一个非常荒唐的问题，不要说写成一本书，就是考虑30秒钟的时间都是一种浪费。数字当然是一种真实的存在。看一眼银行对账单，就能找到答案，因为那上面有大量的数字，其中大多数都是负数，表示从账户流出的现金。数学专业人士也知道这个问题的答案，因为我们上学时要完成大量作业，接触的都是真实的数字。但是，我在这里所说的“真实”具有不同的含义。加深对科学的理解，确定数字和数学是否真实地存在于宇宙之中，具有非常重要的意义。在人们没有想到数字前，它们也是存在的吗？还是说数字是人类的重要发明，是一个重要的虚幻世界中的虚拟“居民”？
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我们知道，数学可以完全脱离现实，与现实世界不发生任何本质上的联系。事实上，数学家一直是这样做的。数学（mathematics或maths）的最终目的就是制定一系列规则，帮助我们完成整个过程并最终得出某个结果。在定义这些规则时，我们可以使其与我们对现实世界的观察结果保持一致，也可以根据我们的意愿，让它与现实世界截然不同，以产生怪诞而美妙的效果。有的数学家就喜欢这种遨游另类世界的梦幻之旅。
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举一个简单的例子。现实世界有三个空间维度（然而，物理学的弦理论试图结合考虑重力等自然力，要求空间具有9个或10个维度），但是空间有1、2、4、79个还是5 000个维度，对于数学而言都不是问题。“大魔群”这个数学概念深受数学界的欢迎，该群的元素是在196 883维空间中旋转。在研究“大魔群”时，我们难免会想起《绿野仙踪》中那句非常经典的话：“托托，我觉得我们现在已经不在堪萨斯了。”
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尽管数学家在研究这些群时，考虑的都是纽结这种非常普通的内容，但是他们对纽结的定义与我们系鞋带时打的绳结没有任何相似之处。出于便利实用的考虑，这些数学家规定他们用来打结的“绳索”必须头尾相接，形成一个不间断的环。我们知道现实世界的绳结是不一样的，虽然数学家（他们不是非常关注世俗生活）也知道两者之间的不同，但是他们并不在乎，因为他们有权制定这样的规则。
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同样的道理，我们也可以设计一个数学系统，并规定2 + 2 = 5。这个等式在现实世界行不通，但是在设计一个数字系统时，完全可以给出这样的定义。数学上有一个常用的系统，叫作时钟算术，可以将2 + 2的值定义为0或者1。在这个系统中，数字并不是一直累加，而是像钟表上的数字一样，达到某个特定值就会重新变为0。的确，这些数字与现实世界存在某种相似性。从名称可以看出，时钟算术与时钟有相似之处。例如，在12小时制的钟面上，9 + 6 = 3。与传统的计数方式相比，这种运算可以更好地表示循环变化。这个例子说明两个问题：第一，数学具有任意性；第二，下定义时必须谨慎。尽管钟表上的数字9与数山羊时的数字9有某些相同之处，但两者是不一样的。
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反过来，从现实世界这个角度来看，即使没有丰富的数学知识，我们也能走好自己的人生旅程。长久以来，绝大多数人都是这样生活的。一些非常简单的算术就像是预先编写的程序一样。比如，在碗中放入一个东西，然后再放一个，又悄悄地把第二个藏回手心。这时候，无论是狗还是小孩，在看到碗中只有一个东西时，都会感到惊讶。对于哺乳动物而言，“1 + 1 = 2”似乎是一个初级的程序。毫无疑问，这也是一个非常重要的程序，因为在面对超过一个敌人时，它可以帮助你计算取胜的可能性。其余的数学知识，大多是后来我们不断获取的。然而，数学的重要意义已经得到了证明。
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如果没有数学，在现代文明中占有重要地位的科学与技术几乎都会化为泡影。数学贯穿于我们的生活当中，我们不仅在日常活动（如商店中发生的交易）中要用到数学，在了解疾病分布或者选举结果的影响力时也离不开数学。数学是一门非常重要的学科，它可以帮助我们理解周围世界的基础结构和原理，因此我们必须好好掌握这门学科。但是，遗憾的是，很多人发现数学非常难学，甚至觉得学数学是一件很痛苦的事，因此千方百计地逃避这门学科。2012年，英国有一篇关于世界数学日的文章指出：
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我们还知道，很多成年人就是不喜欢数学，也不知道为什么要学习数学。在说到自己“数学学得不好”时，很多人一脸坦然，毫无羞愧之意。这种状况在世界其他地区并不多见。英国人对待数学的消极态度从孩童时期便开始了。有人认为，很多孩子在7—9岁时会遭遇对数学兴趣减退、成绩下降的问题，而且绝大多数孩子从此一蹶不振。他们的兴趣会发生转移，觉得数学枯燥乏味，到最后，他们会彻底放弃数学……随后，这个过程还会继续发生，兴趣不足与信心缺乏的问题又由父母传递给下一代。（斗胆提出一个问题：是不是也有老师参与其中呢？）
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