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数学文化教程 第四章 数学欣赏:数学意境与人文意境的沟通
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数学欣赏,古已有之,中外皆然。数学美的论述多多,如和谐美、简约美、对称美等。黄金分割的艺术美更是大家耳熟能详。这一章将集中讨论一个新课题:数学人文意境的欣赏。语文教育和数学教育有明显的区别。语文教育重在欣赏,比如语文课教学生欣赏古文、欣赏唐诗,却基本上不会写古文、作古诗。但是,从小学到大学,数学教育的重点是“做题目”,几乎不谈“欣赏”二字。数学教育缺少了“欣赏”环节,使得许多人无法喜欢数学,以至厌恶数学,远离数学。
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过去也有一些文献涉及数学和诗词的关系,有许多可供谈助的材料。例如
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一去二三里,烟村四五家;
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楼台七八座,八九十支花。
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把十个数字嵌进诗里,读来朗朗上口。郑板桥也有咏雪诗:
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一片二片三四片,五片六片七八片;
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千片万片无数片,飞入梅花总不见。
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诗句抒发了诗人对漫天雪舞的感受。不过,以上两诗中尽管嵌入了数字,有点趣味性,却实在和数学没有什么关系。
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那么如何欣赏数学呢?那就是欣赏数学的人文意境。
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数学文化教程 第一节 《道德经》与自然数公理
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数学是一种独特的理性文化:它的表达形式是“冰冷的美丽”,但是原始的过程是“火热的思考”。《道德经》的数字意境和近代的自然数公理十分接近。
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古人结绳计数,可以记录从大自然捕获的猎物的数量。西方称之为自然数(natural numbers)。德国数学家克罗内克(Leopold Kronecker,1823—1891)有句名言:“上帝创造了自然数,其他的数都是人造的”。大自然就是上帝。
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什么是自然数?老子《道德经》说得明白:
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“太初有道”,“道生一,一生二,二生三,三生万物”。
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这里,包含了自然数的三个特征,需要我们再认识。
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1.自然数从0开始;“道”相当于0。
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2.自然数一个接一个;由0到1,由1到2,再由2到3,后者是前者的继续。一个接一个,是自然数的特征。分数(有理数)、实数就没有这样的特征了。
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3.自然数系是无限的;三生万物,这里的“万”泛指无穷之多,永无穷尽。
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愚公移山故事也说:“子又生孙,孙又生子;子又有子,子又有孙;子子孙孙无穷匮也,而山不加增,何苦而不平?”这里的“无穷匮”恰和自然数不断后续的意境相通,即子子孙孙构成了一个无限的自然数集。
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现在让我们来看19世纪意大利数学家佩亚诺(Giuseppe Peano,1858—1932)给出自然数公理。其主旨是用“后继”的操作,描述自然数。佩亚诺的这五条公理是
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(1)1是自然数;
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(2)每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a′,a′也是自然数;
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