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数学文化教程 [:1701013735]
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数学文化教程 第三节 抽刀断水水更流的数学描述——函数的极限和连续
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微积分是用极限方法研究函数性质的学科。无穷数列是特殊的函数，其定义域是自然数集。一般地，这一节我们来研究定义在区间[a，b]上函数的极限特性。看看一个严谨的数学家如何表达连绵不断的“连续性”。
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1.连续和间断
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我们先来看三幅函数的图像。图5.3.1是指数函数的图像，这是一条连绵不断的曲线。图5.3.2则是由两段函数（y=x-1（x＜1），y=x+1（x＞1））和f（0）=0拼凑起来的图像，它在x=0处间断。图5.3.3的函数图像，在x=0处，函数值突出地跳到上面，等于2。
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这样说连续和间断很直观，也没有什么问题。可是，何谓连续？何谓间断？能够从数量上加以严格描述吗？我们用极限思想来表达。
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连绵不断的曲线，可以想象为“江河的流水”。抽刀断水水更流，上游的水流到这里，又从此处出发流向下游。上下游的水，一点一点地接续着。
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为了进一步理解函数的连续性，不妨仔细看看不连续的情形。我们看图5.3.2，在O点分为左右两支。左边的一支，当x→0时（由负数接近0），函数趋向于-1，而右边的一支，当x→0（由正数减少到0），函数趋向于1。而在0点，函数值是0。这就是说，函数f（x）当x→0时，函数值没有同一的趋势，它们没有唯一的极限值，两支图像的趋势不同，尤其是不能恰好等于O点的函数值f（0）=0。
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▲ 图5.3.1 指数函数
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▲ 图5.3.2 断裂的两条半直线
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▲ 图5.3.3 在x=0处 函数值“飞”出y=1的直线形成断裂
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图5.3.3表明O点两边的极限都存在（等于0），但和这点的函数值f（0）=2不同，所以也发生断裂。一般地说，凡是在一点处，函数值在自变量趋向该点时没有同一的极限值，或者即使有极限值却不等于该点的函数值，那就是不连续了。
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现在我们可以正面描述函数的连续性了：函数f（x）在一点a连续，就是指：当x→a时，f（x）的极限恰好是f（a）。
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函数连续性的定义 f（x）在点a及其附近有定义，若在x=a处，当x→a时，f（x）趋向于一个极限值且该值正好是f（a），则称f（x）在点a连续。
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2.函数极限的ε-δ定义
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模仿数列极限的ε-N定义，我们给出函数极限以及函数连续性的ε-δ定义。
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什么是函数f（x）无限接近某一常数A呢？如数列极限那样，f（x）可以任意接近A，想达到什么精度都能做到。只要自变量x充分配合，函数值f（x）就能与常数A相差一个任意小的数。
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函数极限的ε-δ定义 若存在某一个实数A，使得对任意给定的正数ε＞0，总有实数δ＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，必有|f（x）-A|＜ε，则称函数f（x）在x0点有极限，且极限为A。记为x→x0时，f（x）→A或
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函数极限有一系列与前述数列极限相似的性质，这里不再叙述。
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特别要提到的一点是：在这一定义中，f（x）在x0点处的极限A不一定正好等于f（x0）。f（x）在x=x0处可能取任意的值，甚至可能没有定义。如果f（x）在x=x0处有定义且正好等于A，这时就称f（x）在x=x0处连续。将这一段话用ε-δ语言来表述，就是