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数学文化教程 [:1701013736]
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数学文化教程 第四节 “无穷小量的鬼魂”——早期微积分学有效但不严谨
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牛顿之前，已经有许多数学家运用无穷小量研究函数性质。法国数学家费马等就运用无穷小量得出了令人惊奇的正确结论。可是无穷小量是什么？没有人解释得清楚。
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1.神奇的费马证明
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从古希腊到文艺复兴，大家都认为，周长一定的矩形以正方形围成的面积最大。这是一个完全正确的命题。但是，没有人能够证明它。法国数学家费马运用无穷小量加以论证。当时人们对无穷小量的认识是，它是任意小却不等于0的量。说白了，就是“既是0又不是0的量”。且看费马论证的过程。
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证明 如图5.4.1，设矩形的半周长是A，其中一条边的边长是B，则另一条边的边长是A-B。如果此时面积最大，要证明它是正方形，只需证明A=2B即可。现在任取无穷小量E，那么可以猜想（一个天才的想法）矩形的面积为
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B(A-B)=(B+E)[A-(B+E)].(5.4.1)
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理由何在？费马认为，在变量取得最大值或最小值的地方，运动都是稳定的。自变量加一个无穷小E进去，不会变化。打个比方，好像我们在二楼，看见一楼的人向上丢一只皮球，当球在最高点时，好像有一刹那是不动的，很稳定。于是，这样一个明明不等的式子，因为E是无穷小量，就似乎是合理的了。下面的证明更精彩。
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把式（5.4.1）的右端展开，得到
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B (A-B)=BA-B 2+AE-2BE-E 2,
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整理得到（A-2B） E-E 2 =0。因为E≠0，约去E，得（A-2B）-E=0。
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又因E无限小，可以略去，得到结论A=2B。证毕。
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这段论证，在逻辑上确实是不可接受的。一会儿说无穷小量E不是0，一会儿又说E可以略去即等于0。但是在费马的时代，大家并不太多关心基础的牢固。只要结果正确，先用起来再说。
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▲ 图5.4.1 求定周长矩形最大面积的示意图 5.4.1
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再看牛顿早先怎样求y=xn的微商。牛顿在《求积术》一文中有如下的论述：
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设量x均匀地变动一个无穷小量h，在x变成x+h的同时，xn变成（x+h）n，它等于
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注意到
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将此式两端除以增量h，得比式（称为差商）
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现在令增量h消失，差商的最终比值是xn的微商nxn-1.
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牛顿用上面的论证得出y=xn的微商（现称为导数）是nxn-1，结论正确，但是论证显然不够严格.开始时增量h不是0，于是在求值时可以约去h，可是后来又令增量h消失，h又等于0了。这在逻辑上是说不通的。