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数学文化教程 第一节 线性空间、向量空间、欧氏空间
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在第三章叙述“数学结构”的时候，已经知道“线性空间”乃是一种代数结构。这里进一步加以阐述。
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7.1.1 线性空间的定义
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数系是我们熟悉的数学对象：有理数系、实数系、复数系。在这些数系中，加减乘除四种运算可以通行无阻（分母不为零）。特别是，除0之外，任何数a都有倒数1/a，二者相乘得到乘法单位元1。
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可是，如果进一步研究其他数学对象的结构，就不一定能做到这一点了。
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例1 直线方程全体组成的集合L。两个直线方程加减后仍然是直线方程，乘上一个数之后也仍是直线方程。但是不能做乘法：两个直线方程（一次方程）相乘得到的可能是二次方程，不是直线方程了。除法同样不能进行。
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例2 平面向量全体所成的集合V。平面向量可以加减，可以乘一个数，但是平面向量不能相除。虽然两个向量可以作“数量乘积”，但是结果已经不再是向量了。
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例3 多项式全体的集合。一个非0的多项式，其倒数一般不是多项式（例如多项式a+bx2的倒数1/（a+bx2）就是一种有理分式，并非多项式）。所以在此集合中，倒数、除法等运算不能有效实行。
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那么，以实数为系数的多项式全体组成的集合M还能进行哪些运算呢。首先，加减法没有问题：两个实系数多项式相加减后依然是实系数多项式；一个实系数多项式，乘上一个实数依然是实系数多项式。
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例4 区间[a，b]上的“连续函数”全体，也可以进行加减运算和数乘运算，其结果仍是连续函数。但是连续函数的倒数不一定是连续函数。
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于是，我们把具有加减和数乘两种运算的数学对象，称之为线性空间。这种数学结构比较简单，容易处理。
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下面，我们给出线性空间严格的定义。
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定义 设V是一个非空集合，F是一个数域。在集合V的元素之间定义一种代数运算，叫做加法：即给出一个法则，使得对于V中任意两个元素x和y，在V中都有唯一的一个元素z与它们对应，称之为x与y的和，记为z=x+y。在数域F与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：对于数域F中任一数k与V中任一元素x，在V中都有唯一的一个元素y与它们对应，称之为k与x的数量乘积，记为y=kx。如果所定义的加法和乘法还满足下述规则，那么就称V为数域F上的线性空间。
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1.V对加法成交换群，即满足：
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（1）（交换律）x+y=y+x；
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（2）（结合律）（x+y）+z=x+（y+z）
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（3）（零元素）在V中有一元素0，对于V中任一元素x都有x+0=x；
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（4）（负元素）对于V中每一个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=0；此时的y也可写成-x。
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2.数量乘法满足：
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(5)1x=x;
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(6)k(lx)=(kl)x;
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3.数量乘法和加法满足：
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(7)(k+l)x=kx+lx;
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(8)k(x+y)=kx+ky.
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其中，x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素。1是F的乘法单位元。数域F称为线性空间V的系数域或基域，F中的元素称为纯量或数量（scalar），V中元素称为向量（vector）。当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。
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