1701018180
数学文化教程 第五节 金融数学“华尔街革命”[2]
1701018181
1701018182
狭义的金融学是指金融市场的经济学。现代意义下的金融市场至少已有300年以上的历史，它从一开始就是经济学的研究对象。但人们通常认为现代金融学只有不到50年的历史。这50年也就是使金融学成为可用数学公理化方法架构的历史。
1701018183
1701018184
从瓦尔拉斯-阿罗-德布鲁的一般经济均衡体系的观点来看，现代金融学的第一篇文献是阿罗于1953年发表的论文《证券在风险承担的最优配置中的作用》。在这篇论文中，阿罗把证券理解为在不确定的不同状态下有不同价值的商品。这一思想后来又被德布鲁所发展，他把原来的一般经济均衡模型通过拓广商品空间的维数来处理金融市场，其中证券无非是不同时间、不同情况下有不同价值的商品。但是后来大家发现，把金融市场用这种方式混同于普通商品市场是不合适的。原因在于它掩盖了金融市场的不确定性本质。尤其是其中隐含着对每一种可能发生的状态都有相应的证券相对应，如同每一种可能有的金融风险都有保险那样，与现实相差太远。
1701018185
1701018186
这样，经济学家又为金融学寻求其他的数学架构。用新的数学来架构的现代金融学被认为是两次“华尔街革命”的产物。第一次“华尔街革命”是指1952年马科维茨的证券组合选择理论的问世。第二次“华尔街革命”是指1973年布莱克—肖尔斯期权定价公式的问世。这两次“革命”的特点之一都是避开了一般经济均衡的理论框架，以致在很长时期内都被传统的经济学家认为是“异端邪说”。但是它们又确实使以华尔街为代表的金融市场引起了“革命”，从而最终也使金融学发生根本改观。马科维茨因此荣获1990年诺贝尔经济学奖，肖尔斯（M.Scholes，1941—）则和对期权定价理论作出系统研究的默顿一起荣获1997年的诺贝尔经济学奖。布莱克（F.Black，1938—1995）不幸早逝，没有与他们一起领奖。
1701018187
1701018188
马科维茨研究的是这样一个问题：一个投资者同时在许多种证券上投资，那么应该如何选择各种证券的投资比例，使得投资收益最大，风险最小。马科维茨在观念上的最大贡献，在于他把收益与风险这两个原本有点含糊的概念明确为具体的数学概念。由于证券投资上的收益是不确定的，马科维茨首先把证券的收益率看作一个随机变量，而收益定义为这个随机变量的均值（数学期望），风险则定义为这个随机变量的标准差（这与人们通常把风险看作可能有的损失的思想相差甚远）。于是，如果把各证券的投资比例看作变量，问题就可归结为怎样使证券组合的收益最大、风险最小的数学规划。对每一固定收益都求出其最小风险，那么在风险-收益平面上，就可画出一条曲线，它称为组合前沿。
1701018189
1701018190
马科维茨理论的基本结论是：在证券允许卖空的条件下，组合前沿是一条双曲线的一支；在证券不允许卖空的条件下，组合前沿是若干段双曲线段的拼接。组合前沿的上半部称为有效前沿。对于有效前沿上的证券组合来说，不存在收益和风险两方面都优于它的证券组合。这对于投资者的决策来说自然有很重要的参考价值。
1701018191
1701018192
马科维茨理论是一种纯技术性的证券组合选择理论。这一理论是他在芝加哥大学作的博士论文中提出的。但在论文答辩时，它被一位当时已享有盛名、后以货币主义而获1976年诺贝尔经济学奖的弗里德曼（M.Friedman，1912—）斥之为“这不是经济学！”为此，马科维茨不得不引入以收益和风险为自变量的效用函数，来使他的理论纳入通常的一般经济均衡框架。
1701018193
1701018194
马科维茨的学生夏普（W.Sharpe，1934—）和另一些经济学家，则进一步在一般经济均衡的框架下，假定所有投资者都以这种效用函数来决策，从而导出全市场的证券组合收益率是有效的以及所谓资本资产定价模型（capital asset pricing model，简称CAPM）。夏普因此与马科维茨一起荣获1990年诺贝尔经济学奖。另一位1981年诺贝尔经济学奖获得者托宾（L.Tobin，1918—）在对于允许卖空的证券组合选择问题的研究中，导出每一种有效证券组合都是一种无风险资产与一种特殊的风险资产的组合（它称为二基金分离定理），从而得出一些宏观经济方面的结论。
1701018195
1701018196
在1990年与马科维茨、夏普一起分享诺贝尔奖的另一位经济学家是新近刚去世的米勒。他与另一位在1985年获得诺贝尔奖的莫迪利阿尼（F.Modigliani，1918—）一起在1958年以后发表了一系列论文，探讨“公司的财务政策（分红、债权/股权比等）是否会影响公司的价值”这一主题。他们的结论是：在理想的市场条件下，公司的价值与财务政策无关。这些结论后来就被称为莫迪利阿尼-米勒定理。他们的研究不但为公司理财这门新学科奠定了基础，并且首次在文献中明确提出无套利假设。
1701018197
1701018198
所谓无套利假设，是指在一个完善的金融市场中，不存在套利机会（即确定的低买高卖之类的机会）。因此，如果两个公司将来的（不确定的）价值是一样的，那么它们今天的价值也应该一样，而与它们财务政策无关；否则人们就可通过买卖两个公司的股票来获得套利。达到一般经济均衡的金融市场显然一定满足无套利假设。这样，莫迪利阿尼-米勒定理与一般经济均衡框架是相容的。
1701018199
1701018200
但是，直接从无套利假设出发来对金融产品定价，则使论证大大简化。这就给人以启发，不必非要背上沉重的一般经济均衡的十字架不可，从无套利假设出发就已可为金融产品的定价得到许多结果。从此，金融经济学就开始以无套利假设作为出发点。
1701018201
1701018202
以无套利假设作为出发点的一大成就也就是布莱克-肖尔斯期权定价理论。所谓（股票买人）期权是指以某固定的执行价格在一定的期限内买入某种股票的权利。期权在它被执行时的价格很清楚，即：如果股票的市价高于期权规定的执行价格，那么期权的价格就是市价与执行价格之差；如果股票的市价低于期权规定的执行价格，那么期权是无用的，其价格为零。现在要问：期权在其被执行前应该怎样用股票价格来定价？
1701018203
1701018204
为解决这一问题，布莱克和肖尔斯先把模型连续动态化。他们假定模型中有两种证券，一种是债券，它是无风险证券，也是证券价值的计量基准，其收益率是常数；另一种是股票，它是风险证券，沿用马科维茨的传统，它也可用证券收益率的期望和方差来刻画，但是动态化以后，其价格的变化满足一个随机微分方程，其含义是随时间变化的随机收益率，其期望值和方差都与时间间隔成正比。这种随机微分方程称为几何布朗运动。然后，利用每一时刻都可通过股票和期权的适当组合对冲风险，使得该组合变成无风险证券，从而就可得到期权价格与股票价格之间的一个偏微分方程，其中的参数是时间、期权的执行价格、债券的利率和股票价格的“波动率”。出人意料的是，这一方程居然还有显式解。于是布莱克-肖尔斯期权定价公式就这样问世了。
1701018205
1701018206
与马科维茨的遭遇类似，布莱克—肖尔斯公式的发表也困难重重地经过好几年。与市场中投资人行为无关的金融资产的定价公式，对于习惯于用一般经济均衡框架对商品定价的经济学家来说很难接受。这样，布莱克和肖尔斯不得不直接到市场中去验证他们的公式。结果令人非常满意。有关期权定价实证研究结果先在1972年发表，然后再是理论分析于1973年正式发表。与此几乎同时的是芝加哥期权交易所也在1973年正式推出16种股票期权的挂牌交易（在此之前期权只有场外交易），使得衍生证券市场从此蓬蓬勃勃地发展起来。布莱克-肖尔斯公式也因此有数不清的机会得到充分验证，而使它成为人类有史以来应用最频繁的一个数学公式。
1701018207
1701018208
布莱克-肖尔斯公式的成功与默顿的研究是分不开的，后者甚至在把他们的理论深化和系统化上作出更大的贡献；默顿的研究后来被总结在1990年出版的《连续时间金融学》一书中。对金融问题建立连续时间模型也在近30年中成为金融学的核心。这如同连续变量的微分学在瓦尔拉斯时代进入经济学那样，尽管现实的经济变量极少是连续的，微分学能强有力地处理经济学中的最大效用问题；而连续变量的金融模型，同样使强有力的随机分析更深刻地揭示金融问题的随机性。
1701018209
1701018210
不过，用连续时间模型来处理金融问题并非从布莱克-肖尔斯-默顿理论开始。1950年代，萨缪尔森就已发现，一位几乎被人遗忘的法国数学家巴施里叶（Louis Bachelier，1870—1946）早在1900年已在其博士论文《投机理论》中用布朗运动来刻画股票的价格变化，并且这是历史上第一次给出的布朗运动的数学定义，比人们熟知的爱因斯坦1905年的有关布朗运动的研究还要早。
1701018211
1701018212
尤其是，巴施里叶实质上已开始研究期权定价理论，而布莱克-肖尔斯-默顿的工作其实都是在萨缪尔森的影响下，延续了巴施里叶的工作。这样一来，数理金融学的“祖师爷”就成了巴施里叶。对此，法国人感到很自豪，最近他们专门成立了国际性的“巴施里叶协会”。2000年6月，协会在巴黎召开第一届盛大的国际“巴施里叶会议”，以纪念巴施里叶的论文问世100周年。
1701018213
1701018214
1701018215
1701018216
1701018218
数学文化教程 第六节 微分几何与规范场：陈省身和杨振宁的科学会师
1701018219
1701018220
数学的应用，有时完全意想不到。
1701018221
1701018222
陈省身于1940年代内蕴地证明“高斯-邦内”公式，从而开创了整体微分几何的时候，完全没有想到会在杨振宁的物理学中得到应用。杨振宁和米尔斯在1954年发表研究非交换的规范场论文，他们当时还完全不懂整体微分几何。但是到了1970年代，两位20世纪的科学大师，实现了影响深远的科学会师。
1701018223
1701018224
1975年，杨振宁在纽约州立大学（石溪）向微分几何学家西蒙斯学习微分几何，明白了规范场和微分几何之间的关系。于是，立即驱车前往陈省身在伯克利附近的“小山”寓所，激动地告诉陈省身：“物理学的规范场正好是纤维丛上的联络（connection），我们从事的研究乃是‘一头大象的不同部分’。”由于陈省身的纤维丛理论是在不涉及物理世界的情况下发展起来的。杨振宁说：“这既使我震惊，也令我迷惑不解，因为你们数学家能够凭空地梦想出这些概念。”陈省身马上提出异议：“不，不，这些概念不是梦想出来的。它们是自然的，也是实在的。”[3]
1701018225
1701018226
物理几何是一家。这就是陈省身和杨振宁“科学会师”的故事。
1701018227
1701018228
在20世纪下半叶的世界科学史上，华人科学家开始作出自己的贡献。陈省身和杨振宁的上述工作无疑属于其中最重要的部分之一。它处于数理科学的核心地位和主流方向，其影响不仅限于20世纪，已经并会长远地延续在21世纪。
[
上一页 ]
[ :1.701018179e+09 ]
[
下一页 ]