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数学文化教程 第六节 微分几何与规范场：陈省身和杨振宁的科学会师
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数学的应用，有时完全意想不到。
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陈省身于1940年代内蕴地证明“高斯-邦内”公式，从而开创了整体微分几何的时候，完全没有想到会在杨振宁的物理学中得到应用。杨振宁和米尔斯在1954年发表研究非交换的规范场论文，他们当时还完全不懂整体微分几何。但是到了1970年代，两位20世纪的科学大师，实现了影响深远的科学会师。
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1975年，杨振宁在纽约州立大学（石溪）向微分几何学家西蒙斯学习微分几何，明白了规范场和微分几何之间的关系。于是，立即驱车前往陈省身在伯克利附近的“小山”寓所，激动地告诉陈省身：“物理学的规范场正好是纤维丛上的联络（connection），我们从事的研究乃是‘一头大象的不同部分’。”由于陈省身的纤维丛理论是在不涉及物理世界的情况下发展起来的。杨振宁说：“这既使我震惊，也令我迷惑不解，因为你们数学家能够凭空地梦想出这些概念。”陈省身马上提出异议：“不，不，这些概念不是梦想出来的。它们是自然的，也是实在的。”[3]
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物理几何是一家。这就是陈省身和杨振宁“科学会师”的故事。
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在20世纪下半叶的世界科学史上，华人科学家开始作出自己的贡献。陈省身和杨振宁的上述工作无疑属于其中最重要的部分之一。它处于数理科学的核心地位和主流方向，其影响不仅限于20世纪，已经并会长远地延续在21世纪。
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自然界的奥秘，隐藏在人类已有认识之外。科学的原始问题，恰如地质学家在茫茫沙漠中找石油，考古学家在广袤大地上寻找古代文化遗存，抑或比喻为探索黑暗中的一头大象，事先不知道它的存在，更无法看见它的全貌。陈省身和杨振宁的原始工作，正是从数学和物理学两个方向接近这头“非交换规范场”的大象，作出了历史性的科学贡献。
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两篇开创性的论文都不长。陈省身在1944年发表的《闭黎曼流形高斯-邦内公式的一个简单的内蕴证明》[4]，全文不到6页。杨振宁和米尔斯关于《同位旋守恒以及同位旋规范不变性》的论文，也只有5页[5]。他们的成功，并非在当时就建立了系统的理论和完美的框架，而是以“深邃的洞察力”和“科学睿智”，看到了原始问题的所在。好比将密室打开了一扇门。当人们后来用火把照明时，才慢慢地看到那是一座科学宝库，深邃而广大。
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陈省身做出上述工作的时候，微分几何学是一个冷门，甚至有人认为：“微分几何已经死了”。在研究微分几何的少数人中，大家都受斯廷罗德的影响，坚持用“上闭链”。陈省身回忆说：“用微分式比上闭链方法要容易多了。然而那不是时尚。大家做的东西，我不做。研究贵独创，不要跟着人走”[6]。
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杨振宁和米尔斯在1954年发表的这篇论文，当时也没有怎样引人注意。到了20世纪60年代才被觉察其重要性。真正显示在物理学和数学上的重要性，要等到20世纪70年代。所以在某种意义上，同位旋的规范不变性研究，在1954年时，也是冷门。杨振宁在谈到成功的原因时说：“除了机遇和环境因素之外，似乎有两个原因是主要的。一个是：面对物理学中的原始问题，不要淹没在文献的海洋里。另一个是，物理学研究不要排斥数学，要成功地运用数学”[7]。
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科学原创的起点，正是要面对原始问题。陈省身面对的是如何将普通二维曲面的微分几何推广到高维的流形，找出流形上纤维丛的拓扑不变量，其影响遍及整个数学。杨振宁处理的则是将大物理学家处理过的交换的规范场理论（用U（1）群），推广到非交换的情形（U（2）群），成为物理学和数学研究上的重要里程碑，具有超越世纪的影响力。世界上的科学问题不计其数，在茫茫的科学海洋中寻求有价值的原始问题，需要机遇，更需要一种眼光、一种抱负。
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陈省身和杨振宁，能够取得科学上的巨大成功，是和他们那个时代以及他们的人生感悟、科学抱负、学术环境密切相关的。
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陈省身和杨振宁有许多相似之处。陈省身出生于发生辛亥革命的1911年。杨振宁比他小11岁。他们的青少年时代，都在内忧外患的环境下度过，却又都受到“五四运动”科学民主精神的熏染，在青少年时代打下坚实的知识基础，立下“科学救国”的志向。后来，他们都进入清华大学，接受中华文化和西方科学的洗礼，文理兼通。在性格上，陈省身不善做实验，化学课上吹不好玻璃管；杨振宁则在美国有“哪里有爆炸，哪里有杨振宁”的故事。于是，他们扬长避短，从事数学和理论物理的研究。后来，都到了美国，分别获得沃尔夫数学奖和诺贝尔物理学奖，都成为美国科学院院士，享誉国际科学界。那么，什么是他们进行科学攀登的原动力，能够具备面对原始问题的勇气呢？原因很多，一个根本的动力，恐怕要归因于他们的爱国情结。
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杨振宁曾经说过：“我一生最重要的贡献是帮助改变了中国人觉得自己不如人的心理作用。”陈省身对此深有同感：“过去总认为中国人在科学上不如外国人，我的微薄贡献是要把它改过来。外国人能够做的，我们也能做到，做得一样好。”
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这种“为华人争光”的抱负，是他们终生不渝为之奋斗的人生目标。他们在作出上述科学工作时，都持有中国护照（加入美国籍是20世纪60年代的事），晚年又都分别定居中国南开和清华。报效祖国，做了他们所能做到的事情。
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今天，在数学和理论物理学的核心领域，“陈省身类”、“陈省身-西蒙斯理论”、“杨-米尔斯理论”、“杨-巴克斯特方程”等名词已经成为常识性的普通名词。这是一座科学高峰，后人要企及它，已经非常困难。但是，时代在前进。中国的数学和物理学的成就，终究要超越前人。认真总结陈省身和杨振宁的学术道路，一定会给我们有益的启示。
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[1] 卢卡斯.政治及有关模型.长沙：国防科技大学出版社，1996.
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[2] 本节文字为著名数学家、金融数学家史树中教授所作。史教授1961年在华东师范大学数学系毕业后留校工作，和本书编者共事十余年。后来先后在南开大学、北京大学光华管理学院任教，是我国数理经济学的一位开拓者。2008年不幸病逝。为了纪念他的贡献，也为了使本书增色，特选刊他在2000年为上海《科学》杂志第六期所写的一篇文章。原题是《从数理经济学到数理金融学的百年回顾》。这里刊载的是其中的第二部分。
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[3] 以上各段引文见张奠宙编《杨振宁文集》742页，上海：华东师范大学出版社，1998。
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[4] S.S.Chern.Annals of mathematics.45 (1944) 747-752.
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[5] C.N.Yang,R.Mills.The Physics Review,96.1(October 1,1954),191-195.
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[6] 陈省身.陈省身文集.上海：华东师范大学出版社，2002.
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[7] 张奠宙.20世纪数学经纬.上海：华东师范大学出版社，2002.
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