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数学文化教程 [:1701013766]
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数学文化教程 第九章 现代数学重大事件综述
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自从第二次世界大战结束以来，信息社会推动数学向纵深发展。一系列重大的数学事件陆续发生，反过来影响社会的进步。纯粹数学和应用数学两个方面获得了巨大成功。本章将综述若干重大的数学事件。由于涉及的数学过于深奥，我们只能是“讲故事”，介绍其梗概，寻求常识性的了解。
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数学文化教程 第一节 从勾股定理到费马大定理
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中学生都知道勾股定理。最简单的勾股数是一组整数（3，4，5），它能够满足方程x2+y2=z2。那么是否有一组正整数，能够满足立方和，乃至N方和？大自然的安排是不可能，N=2是唯一的解答。
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1.从勾股定理说起
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勾股定理断言：
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任意的直角三角形中，两条直边（勾和股）的平方和等于斜边（弦）的平方。它是数学中最不同寻常的一条定理。
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首先，它是最古老和影响最广泛的定理：四千多年前的巴比伦人已经知道它，三千多年前中国周代人商高也知道它，两千六百多年前古希腊人毕达哥拉斯知道并且能够证明它。在西方，它被称为毕达哥拉斯定理（图9.1.1）。
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其次，它是仅有的、兼具几何和算术意义的基本定理：从几何的角度讲，勾股定理其实与欧几里得平行公理等价，即它们之间可以相互推导。所以在古代中国虽然没有明确使用平行公理，但有了勾股定理也能够解决大量的几何问题。
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而从算术的角度讲，勾股定理的不平凡性在于，它存在无穷多个正整数解。“勾三股四弦五”是其最简单的整数解；其通解是
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◀ 图9.1.1 三国时吴人赵爽在《周髀算经》注中，用“弦图”证明勾股定理
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a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m，n是满足m＞n的任意正整数。
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满足勾股定理整数解的三元数组（a，b，c）被称为“勾股数”。
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17世纪的法国数学家费马（Pierre de Fermat，1601—1665）在研读古希腊人丢番图的《算术》著作时，看到其中有这样一个关于勾股数的问题：给定一个整平方数，如何把它写成另两个整平方数之和？他于是在书的旁边空白处用拉丁文写道：
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在另一方面，不可能把一个立方整数写成两个立方整数之和，或把一个四次方整数写成两个四次方整数之和；一般来讲，任何一个幂次大于2的幂整数都不能写成两个同次幂整数之和。我发现了一个真正奇妙的证明，但空白处太小，写不下。
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用代数的语言，费马是在说：
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xn+yn =zn (n＞2) (1)
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没有正整数解。这就是曾经作为数学发展强力助推剂的“费马大定理”。所以称之为“大定理”，是因为还有一个著名的“费马小定理”，是关于素数性质的重要断言。“费马大定理”西方数学家称之为“费马最后定理”。因为费马曾经有过许多关于整数性质的断言，后来几乎都得到了证明，只剩下这最后一个。
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2.费马的“证明”，只能算猜想
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费马究竟有没有证明了他的“大定理”？没有直接肯定或否定的证据。因为那个时代的数学家大都不主动公布自己的研究成果。而是通过写信，向同行数学家发起解题的挑战，并享受解题战胜对手的乐趣。不过，现在人们倾向于认为，费马其实并没有真正证明他的定理，因为他不可能掌握那一大堆令人眼花缭乱的抽象数学武器，这些武器都是后代数学英杰为攻克这一难题而专门打造的。
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费马曾经写信挑战同行，要求他们证明n=3，4时他的“大定理”成立。当然，没有人能够应战。费马本人则在丢番图《算术》书上的另一空白处，写下了n=4时的证明。费马以后的二百多年里，数学家们试图找到对更多n的证明，但进展极其缓慢。
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