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数学文化教程 [:1701013772]
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数学文化教程 第六节 数学证明的机械化之路
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一般认为，数学证明是头脑思维的产物。“灵机一动，计上心来”，这似乎和机械的死板运算不相干。计算机固然不能代替人的头脑，但是一部分繁重的“按部就班”式的脑力劳动，还是应该交给机器去做。人类在20世纪取得了一些进展，其中包括吴文俊的创新研究。
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1.从数值计算谈起
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学习和研究数学的任务可以分为两大类：证明数学命题和解数学方程。像“三角形的内角之和等于18 0 °”，“三角形的高相交于一点”和勾股定理等，都是典型的数学命题，我们在中学里就已经学会证明它们了。费马大定理、高斯-博内定理和庞加莱定理等，则是非常困难的数学命题，经过几代数学家的努力才得以证明。至于哥德巴赫猜想和黎曼猜想等数学命题，迄今尚未能证明。
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数学方程包括代数方程、微分方程、积分方程和差分方程等。例如
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ax2+bx+c=0 (a≠0) (1)
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就是一个简单的一元二次代数方程。当然，工程师和数学家所研究的方程要复杂得多。
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解数学方程通常有两种方法。一种叫做解析法，即设法求出满足方程的未知量的解析表达式，这些表达式通常是方程中各项系数的函数。如中学里已学过，方程（1）的解析解为
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解析方法的优点在于：它所求出的一般是该类方程的通解，并且是没有误差的精确解，还可以通过解析表达式深入研究这些解的结构和性质。任何数学方程，如果能够写出其解的解析表达式，那就相当于已经彻底掌握这种方程了。可惜的是，只有很少种类的数学方程适用解析方法。即使是最简单的一元代数方程，阿贝尔和伽罗瓦早在两百年前就已经证明，当其次数大于4次时是没有一般根式解的。
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另一种解数学方程的方法叫做数值法，即设法获得方程的数值解：通常是用十进制数或二进制数表达的近似解，一般通过迭代逼近获得。如对于一元二次方程（1），可以运用“切线法”，写出其迭代方程式[3]
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假设方程（1）中的a=1，b=—1，c=—1，则有
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x2-x-1=0.(3)
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我们令x0=0，然后用方程（2）迭代计算得到
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x1=—1,
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x2=—0.666 666 667,
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x3=—0.619 047 619,
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x4=—0.618 034 448,
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x5=—0.618 033 989.
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于是，仅通过5次迭代就已经得到了方程（3）的精确到小数点后第9位的数值解。
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数值法的一大优点是，它能够解出大部分数学方程，尤其适用于求解复杂的方程。比如说，2000多年以前中国古代数学名著《九章算术》中，就已经有了求平方根和立方根数值解的机械算法“开方术”和“开立方术”。在此基础上，北宋的贾宪（活动于约1050年）发明了“增乘开方法”（其中要用到著名的“贾宪三角”），南宋的秦九韶（1202—1262）发明了“正负开方术”。这些都是求高次方程数值解的机械算法——从理论上讲，可以用它们求出任意高次方程根的数值解。作为对比，前述“解析法”最多只能求出4次方程的根。
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然而，数值法的最大优点在于，它其实是一种机械的解题方法，因此可以通过计算机来实现。事实上，人类一开始建造计算机的目的就是为了数值计算。1946年问世的第一台计算机ENIAC，其全称是“电子数值积分计算机”。以后，计算机才被越来越多地用于信息处理。不过，随着科学技术的发展，对数值计算的需求也在快速增长：如卫星上天、天气预报、建造大坝、设计飞机、模拟飞行、生产新药等，都需要进行大量的计算。为此人们不惜花费巨资建造速度越来越快的“超级计算机”。由美国克莱公司在2012年制造的“泰坦”，是目前世界上运算速度最快的超级计算机，其运算速度达到每秒1.759亿亿次，它主要用于模拟分子生物学现象、磁性材料中原子和电子之间的相互作用、大气活动等的数值计算。
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鉴于数值计算在人类生产劳动和科学研究中占据越来越重要的地位，许多数学家认为，依赖于计算机的机械化数值计算方法将成为数学研究的主流。他们的看法并非毫无道理。