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魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 [:1701022628]
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魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 第12章 效用理论、风险与不确定性
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1982年的诺贝尔经济学奖得主乔治·施蒂格勒（George Stigler）说过：“如果你从来没有误过飞机，那只能说明你浪费在机场的时间太多。”如果最近刚好误过一次飞机，我们肯定会认为这个说法违背了我们的直觉。当我滞留在芝加哥奥黑尔机场啃着难吃的售价12美元的可萨鸡肉卷时，我发现自己在经济学方面的判断力实在不怎么样。尽管施蒂格勒的说法非常奇怪，期望值却表明他是对的，至少对于经常乘坐飞机的人而言是这样。我们把这个问题简单化，只考虑三种方案：
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方案1：提前2小时到达机场，误机概率为2%。
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方案2：提前1.5小时到达机场，误机概率为5%。
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方案3：提前1小时到达机场，误机概率为15%。
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当然，误机所造成的损失在很大程度上取决于当时的情境。是错过了去哥伦比亚特区的飞机，然后改乘下一个航班，还是准备参加某位亲友于第二天上午10点举行的婚礼却没赶上当天最后一班飞机，两者不可同日而语。在彩票游戏中，彩票的损失是以美元来计算的。而对于误机造成的损失，我们只能用时间成本来衡量，因此，确定性比彩票的损失低很多。两者都令人生气，但是没有一种被普遍认可的通货可以明确地计量生气的程度。
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至少，我们还没办法用纸币来计量生气的程度。但是，我们必须做出决策，经济学家也希望找到适合的方法来计量生气的程度。根据经济学标准理论，人们在理性情况下做出的决策都将发挥最大效用（utility）。生活中的所有事物都有效用，美元、蛋糕等人们喜好的事物，其效用为正值，而磕破脚指头、误机等令人不舒服的事，其效用则为负值。甚至有人希望使用某个叫作“效用度”的标准单位来计量效用。打个比方，假设在家一小时的效用为一个效用度，那么提前两个小时赶到机场的成本就是两个效用度，而提前一个小时的成本仅为一个效用度。误机的后果显然比浪费一小时更糟糕，如果我们认为误机的成本等同于浪费6个小时，成本就是6个效用度。
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用效用度来表示效用之后，我们就可以计算出上述三个方案的期望值。
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平均来看，方案2的损失最小，尽管这个方案的误机概率不是很小。的确，滞留在机场是令人不悦的事，但是，误机概率本来就不大，为了进一步降低这种概率，每次都在候机室多等半个小时，这种做法真的可取吗？
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也许有人认为它是可取的，这些人非常讨厌误机，在他们眼里误机的成本不是6个效用度，而是20个。如果是这样，上述计算结果就会发生变化，于是保守性的方案1成为首选，其期望值为：
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–2+2%×（–20）= –2.4个效用度
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但是，这个计算结果只是改变了平衡点的位置，并不意味着施蒂格勒说错了。如果我们提前3个小时到机场，可能会进一步降低误机概率。但是，即使这种做法可以让我们不误机，其成本也至少为3个效用度，比方案1更差。我们可以用下图来表示在机场等候的时间与期望效用之间的关系。
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这幅图也是拉弗曲线。如果在飞机起飞前15分钟到达机场，误机概率就会非常大，其期望效用为负值。反之，如果到得太早，也会让你损失很多效用度。最优方案应该在两者之间，取决于误机与浪费时间在我们心目中孰轻孰重。但是，最优方案的误机概率一定为正值，虽然可能性很小，但绝不等于零。如果从未误过航班，那么我们可能位于最佳方案左边很远的地方。施蒂格勒说，我们应该增加误机次数以节省效用度。
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当然，这种计算必然带有主观性。对所有人而言，在机场多等一个小时造成的损失可能并不相同。（我就特别讨厌机场提供的那些可萨鸡肉卷。）因此，不能指望这个理论准确地告诉我们到达机场的最佳时间，或者误机的合理次数。最终得出的是定性结果，而不是定量结果。我不知道你们理想的误机概率是多少，我只知道这个概率肯定不是零。
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在这里要提醒大家的是，实际上，接近于零的概率与真的等于零的概率是很难区分的。对于一位满世界飞的经济学家而言，接受1%的误机风险就意味着每年要误机一次。而对于大多数人来说，这么低的风险也许意味着一辈子都不会误机，因此，1%的风险对于我们来说是比较合适的，总能赶上飞机并不意味着我们做出了错误的选择。同样，我们也不能以施蒂格勒的论断作为理由，认为“如果开车时没有达到汽车允许的最快速度，就意味着开得太慢”。施蒂格勒的意思是，如果汽车没有因为速度过快而报废的风险，则意味着车速太慢。这个观点虽然没有多少意义，但却是正确的。没有任何风险的唯一办法就是不开车。
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施蒂格勒式的论断适用于各类问题，以政府的浪费行为为例。每个月，我们都会看到一些报道，要么有一位政府工作人员钻了制度的空子，为自己牟取了高额退休金，要么是某位市政工程的承包商虚报价格却没有受到惩罚，要么是某个政府部门在完成其历史使命之后，由于政府的惰性或者受到强力庇护而没有被撤销，仍然在消耗着财政支出。2013年6月24日，《华尔街日报》的“华盛顿社电”博客描述了这种行为的典型表现。
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社会保障部的检察官在星期一时说，该部门为1 546名据核实已经死亡的美国人支付了3 100万美元的退休金。
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该检察官说，在政府数据库中有这些人的死亡信息，表明社会保障部应该知道他们已经过世，不应继续为他们发放退休金。该检察官的这番言论有可能使社会保障部陷入更糟糕的境况。
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我们为什么听任这类事件持续发生呢？答案很简单：与提前赶到机场一样，杜绝浪费行为也需要付出代价。履行义务与保持警惕都是有意义的行为，但是杜绝所有浪费行为，与把误机概率从非常低降到零一样，其成本超过收益。博客作者（曾经的数学竞赛选手）尼古拉斯·比尤德罗特（Nicholas Beaudrot）认为，3 100万美元在社会保障部每年发放的补贴款中占0.004%。换言之，该部门在了解退休金发放对象是否死亡这方面已经做得非常好了。在有了这样优秀的表现之后，再去消除为数不多的错误，成本可能会非常高。因此，我们不应该问“政府为什么要浪费纳税人的钱”，正确的问题是“政府浪费纳税人的钱以多少为宜”。用施蒂格勒的话说：“如果我们的政府没有浪费行为，那只能说明他们在反浪费方面花了太多的时间。”
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帕斯卡的赌注与无穷多的快乐
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帕斯卡是最早清楚地理解期望值概念的人之一。1654年，赌徒安托万·贡博（Antoine Gombaud）提出的一些问题让帕斯卡百思不得其解，为此他花了半年时间同费马通过书信进行探讨。他希望了解，从长远看哪些赌博游戏在多次参与后可能获利，哪些则可能亏本；用现代术语来阐述就是，哪些赌博游戏的期望值为正，哪些为负。人们普遍认为，帕斯卡与费马之间的信件往来代表了概率论的产生过程。
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1654年11月23日夜，帕斯卡产生了一种强烈又神秘的感觉，作为一名虔诚基督教信徒的他，尽最大努力把这种感觉记录下来。