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1701025353 魔鬼数学:大数据时代,数学思维的力量 [:1701022628]
1701025354 魔鬼数学:大数据时代,数学思维的力量 第12章 效用理论、风险与不确定性
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1701025356 1982年的诺贝尔经济学奖得主乔治·施蒂格勒(George Stigler)说过:“如果你从来没有误过飞机,那只能说明你浪费在机场的时间太多。”如果最近刚好误过一次飞机,我们肯定会认为这个说法违背了我们的直觉。当我滞留在芝加哥奥黑尔机场啃着难吃的售价12美元的可萨鸡肉卷时,我发现自己在经济学方面的判断力实在不怎么样。尽管施蒂格勒的说法非常奇怪,期望值却表明他是对的,至少对于经常乘坐飞机的人而言是这样。我们把这个问题简单化,只考虑三种方案:
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1701025358 方案1:提前2小时到达机场,误机概率为2%。
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1701025360 方案2:提前1.5小时到达机场,误机概率为5%。
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1701025362 方案3:提前1小时到达机场,误机概率为15%。
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1701025364 当然,误机所造成的损失在很大程度上取决于当时的情境。是错过了去哥伦比亚特区的飞机,然后改乘下一个航班,还是准备参加某位亲友于第二天上午10点举行的婚礼却没赶上当天最后一班飞机,两者不可同日而语。在彩票游戏中,彩票的损失是以美元来计算的。而对于误机造成的损失,我们只能用时间成本来衡量,因此,确定性比彩票的损失低很多。两者都令人生气,但是没有一种被普遍认可的通货可以明确地计量生气的程度。
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1701025366 至少,我们还没办法用纸币来计量生气的程度。但是,我们必须做出决策,经济学家也希望找到适合的方法来计量生气的程度。根据经济学标准理论,人们在理性情况下做出的决策都将发挥最大效用(utility)。生活中的所有事物都有效用,美元、蛋糕等人们喜好的事物,其效用为正值,而磕破脚指头、误机等令人不舒服的事,其效用则为负值。甚至有人希望使用某个叫作“效用度”的标准单位来计量效用。打个比方,假设在家一小时的效用为一个效用度,那么提前两个小时赶到机场的成本就是两个效用度,而提前一个小时的成本仅为一个效用度。误机的后果显然比浪费一小时更糟糕,如果我们认为误机的成本等同于浪费6个小时,成本就是6个效用度。
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1701025368 用效用度来表示效用之后,我们就可以计算出上述三个方案的期望值。
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1701025373 平均来看,方案2的损失最小,尽管这个方案的误机概率不是很小。的确,滞留在机场是令人不悦的事,但是,误机概率本来就不大,为了进一步降低这种概率,每次都在候机室多等半个小时,这种做法真的可取吗?
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1701025375 也许有人认为它是可取的,这些人非常讨厌误机,在他们眼里误机的成本不是6个效用度,而是20个。如果是这样,上述计算结果就会发生变化,于是保守性的方案1成为首选,其期望值为:
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1701025377 –2+2%×(–20)= –2.4个效用度
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1701025379 但是,这个计算结果只是改变了平衡点的位置,并不意味着施蒂格勒说错了。如果我们提前3个小时到机场,可能会进一步降低误机概率。但是,即使这种做法可以让我们不误机,其成本也至少为3个效用度,比方案1更差。我们可以用下图来表示在机场等候的时间与期望效用之间的关系。
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1701025384 这幅图也是拉弗曲线。如果在飞机起飞前15分钟到达机场,误机概率就会非常大,其期望效用为负值。反之,如果到得太早,也会让你损失很多效用度。最优方案应该在两者之间,取决于误机与浪费时间在我们心目中孰轻孰重。但是,最优方案的误机概率一定为正值,虽然可能性很小,但绝不等于零。如果从未误过航班,那么我们可能位于最佳方案左边很远的地方。施蒂格勒说,我们应该增加误机次数以节省效用度。
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1701025386 当然,这种计算必然带有主观性。对所有人而言,在机场多等一个小时造成的损失可能并不相同。(我就特别讨厌机场提供的那些可萨鸡肉卷。)因此,不能指望这个理论准确地告诉我们到达机场的最佳时间,或者误机的合理次数。最终得出的是定性结果,而不是定量结果。我不知道你们理想的误机概率是多少,我只知道这个概率肯定不是零。
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1701025388 在这里要提醒大家的是,实际上,接近于零的概率与真的等于零的概率是很难区分的。对于一位满世界飞的经济学家而言,接受1%的误机风险就意味着每年要误机一次。而对于大多数人来说,这么低的风险也许意味着一辈子都不会误机,因此,1%的风险对于我们来说是比较合适的,总能赶上飞机并不意味着我们做出了错误的选择。同样,我们也不能以施蒂格勒的论断作为理由,认为“如果开车时没有达到汽车允许的最快速度,就意味着开得太慢”。施蒂格勒的意思是,如果汽车没有因为速度过快而报废的风险,则意味着车速太慢。这个观点虽然没有多少意义,但却是正确的。没有任何风险的唯一办法就是不开车。
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1701025390 施蒂格勒式的论断适用于各类问题,以政府的浪费行为为例。每个月,我们都会看到一些报道,要么有一位政府工作人员钻了制度的空子,为自己牟取了高额退休金,要么是某位市政工程的承包商虚报价格却没有受到惩罚,要么是某个政府部门在完成其历史使命之后,由于政府的惰性或者受到强力庇护而没有被撤销,仍然在消耗着财政支出。2013年6月24日,《华尔街日报》的“华盛顿社电”博客描述了这种行为的典型表现。
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1701025392 社会保障部的检察官在星期一时说,该部门为1 546名据核实已经死亡的美国人支付了3 100万美元的退休金。
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1701025394 该检察官说,在政府数据库中有这些人的死亡信息,表明社会保障部应该知道他们已经过世,不应继续为他们发放退休金。该检察官的这番言论有可能使社会保障部陷入更糟糕的境况。
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1701025396 我们为什么听任这类事件持续发生呢?答案很简单:与提前赶到机场一样,杜绝浪费行为也需要付出代价。履行义务与保持警惕都是有意义的行为,但是杜绝所有浪费行为,与把误机概率从非常低降到零一样,其成本超过收益。博客作者(曾经的数学竞赛选手)尼古拉斯·比尤德罗特(Nicholas Beaudrot)认为,3 100万美元在社会保障部每年发放的补贴款中占0.004%。换言之,该部门在了解退休金发放对象是否死亡这方面已经做得非常好了。在有了这样优秀的表现之后,再去消除为数不多的错误,成本可能会非常高。因此,我们不应该问“政府为什么要浪费纳税人的钱”,正确的问题是“政府浪费纳税人的钱以多少为宜”。用施蒂格勒的话说:“如果我们的政府没有浪费行为,那只能说明他们在反浪费方面花了太多的时间。”
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1701025398 帕斯卡的赌注与无穷多的快乐
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1701025400 帕斯卡是最早清楚地理解期望值概念的人之一。1654年,赌徒安托万·贡博(Antoine Gombaud)提出的一些问题让帕斯卡百思不得其解,为此他花了半年时间同费马通过书信进行探讨。他希望了解,从长远看哪些赌博游戏在多次参与后可能获利,哪些则可能亏本;用现代术语来阐述就是,哪些赌博游戏的期望值为正,哪些为负。人们普遍认为,帕斯卡与费马之间的信件往来代表了概率论的产生过程。
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1701025402 1654年11月23日夜,帕斯卡产生了一种强烈又神秘的感觉,作为一名虔诚基督教信徒的他,尽最大努力把这种感觉记录下来。
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