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无知的博弈：有限信息下的生存智慧 [:1701029668]
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无知的博弈：有限信息下的生存智慧 概率与信息推断
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什么是概率
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一个试验可能存在多个潜在的结果，但究竟哪种结果会出现，则是不确定的。这些不确定的试验结果被称做随机事件。譬如，抛硬币包含两个随机事件：正面或反面；要么出现正面，要么出现反面，但究竟哪一面出现是不确定的。掷骰子包含了六个随机事件，分别为1、2、3、4、5、6点；但每掷一次骰子究竟会出现哪个点数，是不确定的。
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概率可以被看做独立随机试验中，事件出现的频率。比如，抛1万次硬币，正面向上的次数约5000次，则抛硬币试验中正面向上的概率就是0.5。掷骰子12万次，出现每一个点数的频率大致是2万次，则掷骰子试验中每个点数出现的概率为1/6。
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任何一个随机事件，都可能发生或不发生。一定要发生的事件被称为必然事件，一定不会发生的事件被称为不可能事件。必然事件和不可能事件，都不是随机事件。随机事件最终的结果，也只能是发生或不发生两者之一，不允许出现既发生又不发生的情况。而且，我们也不允许因为随机事件后来并没有发生，而否认它在先前所具有的发生的可能性。譬如，天气预报说明天有0.3的概率会下雨，真实的情况是到了明天没有下雨，但我们不能因为明天没有下雨而否认了其原本具有的下雨的可能性。随机事件的不确定，存在于结果被确定的过程之中；一旦结果实现了，随机事件的随机性就消失了，但这并不能否认在结果实现之前的随机性。
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随机事件的不确定，存在于结果被确定的过程之中；一旦结果实现了，随机事件的随机性就消失了，但这并不能否认在结果实现之前的随机性。
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为了想通这个道理，不妨考虑在一个毒杀暗器飞来飞去的小屋里关进一只猫。当这只猫在屋子里时，我问你它的生死状态如何？你会回答不知道，因为这只猫可能还活着，也可能死去了。它的状态就是在生死之间徘徊、可能生可能死的状态。但是，若打开屋子发现猫还活着，这只猫会告诉你它一直是活着的，从没经历死的状态。但是，它仍活着这个事实，并不能否认它曾经面临死亡的可能性。
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我们遭遇的许多概率事件是客观的。投掷硬币，若硬币是均匀材质的话，那么当试验次数趋于无穷的时候，出现正面或反面的概率一定都是0.5。这是客观的概率。但是，生活中有很多时候，我们难以对一个随机事件进行大量的重复试验。甚至有些不确定的事件，我们一生只遭遇一次，此时我们怎么评估事件实现的概率？通常我们会对其实现的可能性进行一个主观评估。这就是主观概率。我们很难说明主观概率是否合理，或者一个人的主观概率判断是否正确，但是在决策的时候我们自觉不自觉地都使用到了主观概率。而且，确实存在这样的事实：有经验的人比没有经验的人更能准确地判断形势。或者说，经验有助于提高主观概率的合理性或准确性。经验更丰富的人所做出的决定在事后被验证为恰当的频率要比缺乏经验的人高得多。这可能是经验在决策中占据重要地位的原因。
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有经验的人比没有经验的人更能准确地判断形势。
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也许有读者还会问，为什么有经验的人比缺乏经验的人能做出更恰当的决定？对此的一个解释是，错误的决定对个人的成功多多少少会有所妨碍，恰当的决定对个人的成功多多少少会有所促进；从而，在优胜劣汰的竞争过程中，经常做出错误决定的人可能会被进化的筛子过滤掉，而那些仍能留存在筛子上的人，他们往往是能够“经常”做出恰当决定的人──他们就是经验丰富者，他们对于形势的判断本身就更可能是恰当的。这里也顺便提醒读者，博弈论是理论的科学，与他人博弈则还需要现实的经验。所以，读者不应寄希望于几本讲述策略行为的著作就能使你成为博弈高手。理论可以帮我们洞察某些局势，但是它永远都不能取代经验。
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博弈论是理论的科学，与他人博弈则还需要现实的经验。
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逆概率推断
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与上帝博弈时，人们会形成对上帝之选择的主观信念（上帝选择各状态的概率分布），但是某些时候一些相关的事件发生了，导致人们需要修正对于上帝之选择的信念。或者说，人们有时会面临这样的问题：需要从观察到的结果去推断潜在信息的可能性──估计潜在状态的概率。
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需要从观察到的结果去推断潜在信息的可能性。
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理解上述问题的最佳方式是举例。比如，上帝可以选择一个人是否患上某种遗传缺陷，并且一个人患上遗传缺陷的概率是1%。某项健康检查技术有99%的精确性可以发现这种遗传缺陷，即如果一个人真有遗传缺陷，那么他只有1%的机会未发现该缺陷；如果他没有遗传缺陷，但该项检查也有1%的机会误报其有遗传缺陷。我们感兴趣的是，当检查报告一个人有遗传缺陷的时候，他真的有遗传缺陷的概率是多少？也就是说，给定我们的观察，我们在多大程度上能确定潜在条件是现实存在的？
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不妨用简单的数字运算来回答这个问题。设人口总数为10000人，其中100人（1%）有缺陷，而9900人没有。全部人口都做了该项检查，结果是100个有缺陷的人中被报告为确实有缺陷的人数为99人；而9900个无缺陷的人中也有99人被（错误地）报告为有缺陷。即检查报告为有缺陷的人数是198人，而这当中实际上只有一半（99）的人是真的有缺陷，另外一半实际上是没有缺陷的。所以，有缺陷报告只意味着被报告人有50%的概率存在遗传缺陷。
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上述推理过程，是根据结果来推断概率，因此也被称为逆概率推断[2]。逆概率推断主要用到贝叶斯公式（见页下注或本书附录）。贝叶斯公式和逆概率推断思想在有限信息博弈分析中占有非常重要的地位。因为非对称信息博弈中，人们常常会通过观察对手的言行来判断对手的类型，或者说对手的言行往往传递着对手类型的信息，每当观察到对手的言行之后，博弈参与人就可以并且应当就这些观察到的言行对对手的类型进行重新推断以更新其信念，这种信念更新的逻辑过程正是按照贝叶斯公式来的。在第3章“察觉蛛丝马迹”一节，大家可以看到从对手言行推断对手类型信息在博弈中的重要性。
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[1]自弗兰克·奈特（Frank Knight，1921）以来，有些经济学家也主张不确定性与风险是有区别的，他们认为不确定性无法知晓各状态实现的概率，而风险则可以估计出各状态实现的概率。不过，在本书中，不确定性与风险是当做同义词可轮换使用的。
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[2]此类推断过程可以用贝叶斯定理进行一般化。譬如，可将两种潜在条件标记为A（代表有缺陷）和B（代表无缺陷），将两个可观察结果（事件）记为Y（检验结果有缺陷）和N（检验结果无缺陷）。在缺乏有关人口总体的信息下，假设A存在的概率为p，则B存在的概率为（1-p）。当A存在，观察到Y出现的概率为a，则观察到N出现的概率为（1-a）。同样，当B存在，观察到Y出现的概率为b，则观察到N出现的概率为（1-b）。于是我们得到四种组合情况，并可计算每种情况的概率：①A存在，且观察到Y，概率为pa；②A存在，且观察到N，概率为p（1-a）；③B存在，且观察到Y，概率为（1-p）b；④B存在，且观察到N，概率为（1-p）（1-b）。
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我们关心的问题是，观察到Y，而A存在的概率是多少？故注意力可只放在情况①和情况③，因为只有这两种情况观察到Y，两种情况概率加总为pa+（1-p）b，这正是Y被观察到的概率，即Prob（Y）=pa+（1-p）b。同样，pa是A存在且观察到Y的概率，即Prob（AY）=pa。令Prob（A|Y）表示观察到Y时A存在的概率，则应有：Prob（AY）=Prob（Y）×Prob（A|Y）。这个公式重新安排一下，有：
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上面这个公式被称为贝叶斯公式，它给出了观察到缺陷报告Y后对存在A（有遗传缺陷）的概率评估。读者可以把前面的数字例子，Prob（A）=0.01，Prob（Y|A）=a=0.99，Prob（A|Y）=b=0.01，代进去计算一下，不难得到Prob（A|Y）=0.5，与数字例子得到的结果是一样的。
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