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第二节 美丽的数学
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《美丽心灵》一书对纳什的数学方法仅为有限的介绍，特别对其之后在众多科学领域的显著作用也介绍得颇为简单。但此书展示了很多纳什个人生活中的困扰。西尔维亚·纳萨（Sylvia Nasar）对纳什的描绘并无粉饰之意，纳什被描绘成不成熟、以自我为中心、傲慢自大、不够体谅、健忘。但是，他聪颖过人。
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1928年，纳什出生于西弗吉尼亚的煤矿小镇布鲁菲尔德。上高中时，他表现出了对数学的兴趣（甚至参加了当地大学的一些进修课程），他决定要和父亲一样，成为一名电气工程师。但是当纳什进入位于匹兹堡的卡内基工学院（卡内基技术学院）时，他选择了化学工程作为自己的专业。他很快将兴趣投向了化学，但并未持续太久。纳什无法从摆弄实验器材中找到乐趣，最终转向了自己所擅长的学科——数学。
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他第一次将数学和经济学联系在一起是在卡内基工学院修一门国际经济学的本科课程时。在那门课上，纳什写了一篇论文，其中涉及的观点后来被称之为“讨价还价问题”。正如之后观察家们提到的，这篇文章显然出自一个少年之手——并非因为它观点天真，而是因为这篇文章里谈及的讨价还价都是关于一些诸如球、球拍和袖珍小刀之类的东西。但是，文章中蕴含的数学原理却涉及到更为复杂的经济环境。
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1948年，当纳什到来之时，普林斯顿已是博弈论的全球研究中心。冯·诺伊曼在距大学1公里的高级研究院任教，摩根斯特恩则是普林斯顿经济学系的一员。在普林斯顿数学系，一群年轻的博弈论爱好者们已经开始积极地探索冯·诺伊曼-摩根斯特恩理论的新领域。纳什参加了一个由阿尔伯特·乌·塔克（Albert W.Tucker）主持的博弈论研讨会，同时也在独自探索着博弈论的启示。
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入学后不久，纳什就意识到他在本科时关于“讨价还价”问题的想法代表了一种新的博弈论观点。他准备了一篇论文发表（在冯·诺伊曼和摩根斯特恩的帮助下，他们“对文章给予了非常有用的建议”）。
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“讨价还价”体现了博弈论的另外一种表述形式，博弈者们有着共同的利害关系。在二人零和博弈中，赢家获得的就是输家输掉的，而与之不同的是，讨价还价博弈提供了一种双赢的可能。在这种“合作性”博弈理论中，对所有人来说目标都是自己做得最好，但不必以牺牲他人利益为代价。好的议价结果是双赢。一种典型的现实生活的讨价还价场景就是公司和工会间的谈判。
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在纳什的“讨价还价”博弈论文中，他讨论了存在多种途径达到互惠结果的情形。问题是找到一种使双方的利益（或效用）最大化的方式——其前提是双方都是理性的（知道如何量化他们的期望），是具有同等技能的协商者，并且都了解彼此的期望。
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当对资源交换进行讨价还价时（在纳什的例子里，如书本、球、笔、小刀、球拍和帽子一类的东西），博弈双方可能会对物品有不同的估价（运动员可能会认为球拍比书更有价值，但是偏于智力导向的议价者可能会认为书比球拍更有价值）。纳什展示了如何评价这些不同的估价，计算每个人在各种交换中的效用，并提供了精确的数学图解，找寻最佳成交点——促成最佳交易发生的点（即最大化各自效用的增长）。
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第三节 寻求均衡
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关于讨价还价理论的论文本身已确立了纳什作为博弈论领军人物之一的地位，但是真正使他成为博弈论先驱的是他的博士论文。这篇文章引入了最终成为博弈论卓越构架的“纳什均衡”。
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无可非议，均衡的概念对很多科学领域都有着重要的意义。均衡表明事物处于平衡或稳定状态。而稳定性恰恰是了解很多自然过程的核心概念。生态系统、化学和物理系统，甚至社会系统，无不在寻求稳态。因此，确定如何达到稳态常常是预测未来的关键。如果状态不稳定——大多数的情况下都是如此——你可以通过找到获得稳态所需要的条件来预测事物的发展趋势。了解稳态是一种掌握事物发展方向的途径。
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最简单的例子是一块岩石在陡峭的山峰上保持平衡。这不是一个非常稳定的状态，你可以相当确信地预测未来：这块岩石将从山上滚落，在山谷中达到平衡点。另一个常见的有关均衡的例子是你试图在一杯冰茶中溶解太多的糖，在杯子底部就会聚集起一小堆糖。当溶液达到饱和，糖堆中的分子会持续地溶解，但与此同时，其他的一些糖分子会以同样的速率解析出来，落入糖堆。此时这杯茶就处于一个稳定的状态，保持着一定的甜度。
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化学反应也遵循着同样的原则，只是更加复杂一些罢了。化学反应中的稳态表示的是达到一种“化学平衡”，在这种状态中反应物和生成物的数量保持不变。在一个典型的反应中，两种不同的化学物质反应生成第三种新的物质。但大多数情况下前两种物质并不会完全消失，只剩下新生成的物质。一开始，反应物会随着生成物的增加而减少，但最终会达到一个状态，每种物质的量都不再变化。反应仍在进行着——但是当前两种物质反应生成第三种物质时，一部分第三种物质也会分解来补充前两种物质的损耗。换句话说，反应在继续，但总体上并没有改变。
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以上是化学平衡，用数学描述出来即为化学家所谓的质量作用定律。当纳什思考博弈论中的稳态时，他脑子里想的正是与之类似的物质平衡。在他的博士论文中，他用“质量作用”来解释均衡。他还提到，在博弈中，当玩家们对他们策略的收益“有经验上的了解”时，将达到均衡。
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在化学反应中，一旦达到均衡，各种化学物质的量不再发生变化；在博弈中，一旦达到均衡，人们将不再有改变策略的动机——所以对策略的选择将维持不变（换句话说，博弈达到了稳定的状态）。所有的玩家都对自己所采取的策略感到满意，认为当前策略比其他任何策略都要好（只要其他人也不改变策略）。类似的，在社会环境中，稳态指每个人都满足于现状。你不一定喜欢当前的状态，但是改变现状只会让事情变得更糟。因此没有改变的动机，就像山谷里的石头，达到了一个平衡点。
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在二人零和博弈中，你可以用冯·诺依曼的最小最大化原理来确定平衡点。无论采用纯策略还是混合策略，如果偏离博弈论所确定的最佳策略，没有人会获得更多的收益。但是冯·诺依曼并未证明，当你从鲁宾逊·克鲁索与星期五经济系统转移到盖里甘岛或曼哈顿岛经济系统时，也会产生类似的稳态解。而且正如你看到的那样，冯·诺依曼认为分析大型经济系统（或博弈）的方法是玩家们形成联盟。
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但是，纳什采用了不同的方法——如他几十年后描述的那样，违背了博弈论的“基本路线”。假设玩家之间不存在联盟或者合作。并且每个玩家都追求效用的最大化。是否存在着一组策略使博弈达到稳态，给予每个玩家可能性的最佳的个人收益（假设每个人都选择了可用的最优策略）？纳什认为答案是肯定的。借助一种称之为“不动点定理”的巧妙的数学技巧，他证明了所有的多人博弈（只要玩家的数目有限）都有一个均衡点。
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通过两种不动点定理的任何一个［分别来自鲁伊兹·布劳威尔（Luitzen Brouwer）和角谷静夫（Shizuo kakutani）］纳什用了不同的方法推导出了他的证明。对不动点定理的详细解释需要复杂的数学，但是展示其核心观点却非常简单。取两张同样的纸，揉皱其中一张，并将它放在另一张之上，在揉皱的纸上必然存在着一点位于平整的纸上和其相对应点的正上方。这个点就是不动点。如果你不相信，可以将一张美国地图放在地板上——在美国境内的任何一块地板都可以（地图代表了揉皱的纸）。不管你将地图放在何处，总有一点会在其对应的真实地点的正上方。将同样的法则用于博弈论中的玩家，纳什证明了总是至少存在一个让所有竞争玩家的策略达到均衡的“稳定”点。
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“均衡点，”他在博士论文中写道，“意味着…在其他玩家的策略不变时，每个玩家采取的混合策略都最大化其自身收益。”换句话说，在博弈中至少存在着这样一种策略组合，如果你改变你的策略（其他任何人的策略都不改变）你会获得比之前差的结果。更通俗地讲，经济学家罗伯特·韦伯（Robert Weber）表示，你可以说“纳什均衡描述了一个没有人犯错的世界是什么样子的。”或者像萨缪尔·鲍尔斯（Samuel Bowles）向我形容的那样，纳什均衡“是一种在其他人的状态给定的条件下，每个人都尽其所能，做到最好。”
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冯·诺依曼对纳什的结果不以为然，因为它的确使博弈论转向了不同的方向。但是最终很多人还是意识到纳什理论的闪光点和有效性。“纳什均衡的概念可能是博弈论中唯一最基础的概念，”鲍尔斯宣称，“绝对的基础。”
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第四节 博弈论的成长
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纳什很快发表了他的均衡理论。1950年的《美国国家科学院院刊》刊登了他一篇简短的（两页）题为《多人博弈中的均衡点》的文章。文章简要地（虽然对非数学家来说不是特别清楚）说明了多人博弈“解”的存在性（解意指存在一组策略，使得没有任何玩家能通过单方面改变其策略而获得更多的收益）。他把这篇文章扩展为他的博士论文，并在1951年的《数学年刊》上发表了名为《非合作博弈》的长文版。
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纳什在他的文章中客气地指出，冯·诺依曼和摩根斯特恩已经建立了一种“富有成效”的二人零和博弈理论。但是，他们的多人博弈理论则仅限用于纳什所讲的“合作”博弈，也就是说它仅限于分析由玩家组成的联盟之间的交互。“我们的理论与此相反，它是建立在没有联盟的基础上的，因为我们假定每个参与者都独立决策，不与其他任何人合作或交流。”换句话说，纳什设想出一种多人博弈的“自私自利”的版本，这也正是他称其为“非合作”博弈论的原因。当你仔细考虑这个理论时，就会发现它很好地概括了很多社会现象。在一个竞争激烈的世界中，纳什均衡描述了每个自利的人如何实现他可能的最大收益。“纳什得出的非合作博弈和合作博弈的区别对这个可能的实现起决定性作用。”博弈论理论家哈罗德·库恩（Harold Kuhn）这样写道。
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