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第三节 麦克斯韦和分子理论
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麦克斯韦比其他人对物质世界更敏感，是百年一遇的天才。他始终留心复杂物理现象背后的原理，几乎对整个物理学都有很深的造诣。他精通电学和磁学，光学和热学，研究了牛顿物理学（万有引力和运动定律）之外几乎所有的主要领域，还发现了牛顿运动定律的一个致命缺点。牛顿定律对宏观物体（如炮弹、石块）屡试不爽，但对组成这些物体的微观分子呢？理论上牛顿定律依然适用，但实际上它没什么用，因为它根本无法描绘出单个分子的运动。既然不能描述局部的运动，又怎么能希冀预知整个物体的运动呢？
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当一个铁球从比萨斜塔落下时，内部原子的运动并没有影响它下落的速度，但其他形式的物质不会这样自发地协作。举个例子，假设要了解蒸汽机中压力如何影响蒸汽温度，绝不可从计算单个水分子的运动做起。
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对这个问题物理学家并不是束手无策，他们已设计了一些奏效的公式来描述气体的运动。但麦克斯韦却想知道这些公式是如何起作用的，气体又为什么会如此运动。如果可以用分子运动解释被观察物体的整体运动，那么不但会对这些现象有了更深的理解，而且为19世纪中叶某些派系对是否存在原子和分子的争论提供坚实的依据。
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但是，这种认为分子的运动决定气体状态的观点并不新颖。早在1738年，我们的老朋友丹尼尔·伯努利就用分子台球模型简图来解释气体，并提出气体分子运动论。正如科学史学家斯蒂芬所说，伯努利的理论基于热仅是分子运动的宏观表现，这一（正确）观念与当时大多数物理学家认为的热是某种流动物质（热量）相比“超前了一个世纪”。直到19世纪50年代，在热力学（确立了正确的热理论）出现之际，分子运动论才成为物理学家研究的成熟课题。
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德国物理学家鲁道夫·克劳修斯是主要的热力学先驱。在1857年的一篇论文中，他全面解释了热的分子运动本质。他描述了气压如何与分子对容器壁的撞击相关。任何分子都不停地被其他分子撞击，并通过运动反映出撞击对它的影响（如凯特勒所述，一个人的决策能反映出众多社会压力的影响）。克劳修斯在他的方法中强调了分子平均速度的重要性，并在1858的论文中引入了两次碰撞间分子的平均移动距离这一重要概念（称为平均自由程）。
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1859年，麦克斯韦开始研究分子运动，进一步探讨了气体分子的相互影响和由此而产生的速度。在研究方法中，他用到了凯特勒提出的统计学思想。
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麦克斯韦可能从天文学家约翰·赫谢尔的文章里首次听说凯特勒（赫谢尔作为凯特勒的天文学同事，当然熟悉凯特勒）。后来，在1857年，麦克斯韦读了一本历史学家亨利·汤马斯·巴克尔的新书。巴克尔很明显地受凯特勒影响，相信科学可以发现“人类意识的规律”，并且认为人类的活动是“广袤宇宙的有序系统”的一部分。（我在一个网页上看到巴克尔被称为十九世纪的哈里·谢顿。）
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巴克尔，1821年生于伦敦附近，是19世纪又一位求知若渴的人物，但他幼时并不十分聪明。他爸爸是海运商人，在他18岁那年去世了，留给他充足的钱来游览欧洲并学习他喜爱的历史和国际象棋。（巴克尔是一流的棋手，能流利地使用七种语言，并熟知十几门语言，也是收藏丰富的藏书家，藏书超过20000本。）
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从1842年起，巴克尔便为一篇历史专著搜集资料和论据。他原打算将重点放在中世纪，但最后纳入了更广泛的目标，写成了《英国文明史》（巴克尔实际上是指文明时期的历史）。此书与其说是历史书倒更像是用科学方法研究人类行为的社会学尝试。他批评了解决社会问题的“形而上学”（哲学）方法，主张用历史方法（实际是科学方法）取而代之。
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巴克尔写道：“形而上学方法……出自一辙，它基于研究者对自己思维的研究，这与历史方法背道而驰。形而上学者研究一个人的思维，而历史学家研究一群人的思维。”巴克尔不得不批评形而上学方法“在任何知识领域都毫无作为”。之后，他强调，要揭示“扰动”掩盖下的规律需大量案例，认为“只有研究大量案例才能消除‘扰动’，规律也就清晰可见，那么我们见到的一切就可通过这些消除‘扰动’的现象来断定。”
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巴克尔的大部分理念响应了凯特勒，包括对自由意志论的抨击。他认为：偶尔有人的决策看起来是自由的，甚至是令人惊讶的，那是因为你不了解他的处境。“如果我能够正确推理，同时对他的处境了如指掌，我就能预测由这些处境引发的一系列行为。”回顾巴克尔的话，非常像出自今天博弈论者之口。博弈论也的确是教我们在掌握了影响决策的所有信息后，（或应当）如何决策。
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巴克尔意识到，我们的决策不仅受外因影响，而且受内在思考方式的影响。既然所有影响都有不能被科学所把握的细微之处，那么人的行为特征就必须用统计学来描述。巴克尔写道：“历史的变迁，人类的兴衰，进步与倒退，喜与悲，都是双重作用的结果。一种是外部现象加于意志的作用，一种是意志加于外部现象的作用。对人类行为最全面的推论基于（或类似地源于）统计数据的数学描述。”
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虽然气体复杂得难以描述，但是不难想像，麦克斯韦读了上面的话后从中找出解决方法。也许巴克尔的书有些“自大”，麦克斯韦却仍然承认它是创意之源，并且用巴克尔的统计推理来处理分子运动正是麦克斯韦所需要的。麦克斯韦后来写道：“最小的实验材料也包含了数百万的分子，因此，我们不能确定每个分子真实的运动情况，被迫……采用统计方法来处理这些分子。”他认为统计方法确实能揭示出分子行为的“一致性”。“这种一致性与拉普拉斯所解释的以及巴克尔试图解释的一致性并无差别。”麦克斯韦说。
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要使麦克斯韦关于气体分子特征的论述有意义，并不要求气体分子如克劳修斯所猜测的那样都以平均速度运动，但只要求多数在平均速度附近，一些或快或慢，少数非常快或非常慢即可。在碰撞中，一些分子的速度变快，一些分子的速度变慢，一个高速分子不是被加速，就是被减速。少有分子能一路顺风（或一路荆棘），从而使速度变得极快（或极慢），大部分的分子在一系列碰撞之后趋于试验箱中所有分子的平均速度。
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就像凯特勒“平均人”的虚构概念一样，对社会的深入了解也来自对社会特征在均值附近分布的分析，理解气体也同样要计算分子速度的范围以及在均值附近的分布。麦克斯韦算出的分布符合高斯曲线。
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19世纪60年代，麦克斯韦改进了他的想法，认为当速度达到高斯分布时，就会稳定在这一状态（奥地利物理学家鲁德维格·玻尔兹曼进一步阐述并巩固了麦克斯韦的结论）。单个分子的速度可能变化，但这会通过其他分子速度的改变得到抵消。因此从整体上来看，分子速率的范围和分布将保持不变。当气体分子间的碰撞不再引起整体分布的变化时，气体所处的状态就是平衡状态。
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当然，这种平衡和博弈论中纳什均衡非常类似，而且不仅仅是词意上的类似。在纳什均衡中，参与者的策略达到了稳定的效用，没有任何激励使其改变策略。如典型的纳什均衡是策略分布的平衡一样，气体平衡是分子速率分布的平衡。
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第四节 概率分布
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纳什的混合策略和麦克斯韦的混合分子模型都是数学家所谓的概率分布。这个概念对博弈论如此重要，值得我们毫不手软地把它敲进脑袋中（可能用一个银锤）。下面考虑麦克斯韦的问题：气体分子如何分配气体的总能量？一种可能如克劳修斯的猜想，所有分子的速度都接近平均值；一种可能是速度差别很大，一些分子优哉游哉，一些极速飞奔而过。显然，可能的速度组合很多，并且所有组合在理论上都可能，只是可能性大小不同而已。
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举一个更简单的例子，假设抛10次硬币，记录出现正面的次数，结果会如何？由于出现正反面的概率相等，可以很容易地算出概率分布（严格来说，因为只有两种等概率事件，并且所有概率的和必须为1-1代表事件发生的概率为100％，所以每次出现正面的概率都是0.5，或者说一半）。因此，在大量实验后，每次实验出现正面的平均次数是5（如果硬币均匀）。但是有很多可能的组合符合此均值。比如，全部正面和全部反面的实验各占一半，或每次实验正反面各占一半。
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实际上，每次实验中正面可出现各种可能的次数，只是概率不同：出现5次正面的概率为25％，4次（或6次）的为20％，3次（或7次）的为12％，1次的为1％（不出现的概率为0.1％，即千分之一）。也就是说，不会出现单一的平均结果，而会出现各种结果的概率分布。麦克斯韦察觉到了大量分子间的能量分配可能遵循同样的概率分布。博弈论的成功之处在于证明了纯策略的概率分布（混合策略）能够使效应最大化（或损失最小化），特别当你的对手是理性的时候（意味着他们也采取混合策略）。
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设想你在重复玩猜硬币之类的简单游戏，在游戏中你去猜对手的硬币是正还是反。你的最佳混合策略是一半选择正（另外一半选择反），但是仅仅达到50-50的平衡还不够。你的选择应该是随机的，这样才能反映出等可能性策略的概率分布。如果你只是交替地选择正或反，对手很快就会发现你的选择模式并加以利用，那么对开两种选择也就毫无益处。如果你完全随机地选择，那就要另当别论了，比如说在10次选择中，选择9次正面的概率为1％。
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在一本科林·卡麦勒有关行为博弈论的书中，他把该原理应用到存在着类似50-50的网球比赛中：是打对手的左边还是右边。为了让对手无法预知，打左边还是右边应当是随机的。业余选手在左与右之间交替的往往过于频繁，不能达到适当的概率分布，而职业选手却更接近理想的分布。这暗示博弈论确实能够赢得最优行为，并且人类确实有学习使用博弈理论来理性地做决策的能力
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