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第四节 概率分布
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纳什的混合策略和麦克斯韦的混合分子模型都是数学家所谓的概率分布。这个概念对博弈论如此重要，值得我们毫不手软地把它敲进脑袋中（可能用一个银锤）。下面考虑麦克斯韦的问题：气体分子如何分配气体的总能量？一种可能如克劳修斯的猜想，所有分子的速度都接近平均值；一种可能是速度差别很大，一些分子优哉游哉，一些极速飞奔而过。显然，可能的速度组合很多，并且所有组合在理论上都可能，只是可能性大小不同而已。
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举一个更简单的例子，假设抛10次硬币，记录出现正面的次数，结果会如何？由于出现正反面的概率相等，可以很容易地算出概率分布（严格来说，因为只有两种等概率事件，并且所有概率的和必须为1-1代表事件发生的概率为100％，所以每次出现正面的概率都是0.5，或者说一半）。因此，在大量实验后，每次实验出现正面的平均次数是5（如果硬币均匀）。但是有很多可能的组合符合此均值。比如，全部正面和全部反面的实验各占一半，或每次实验正反面各占一半。
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实际上，每次实验中正面可出现各种可能的次数，只是概率不同：出现5次正面的概率为25％，4次（或6次）的为20％，3次（或7次）的为12％，1次的为1％（不出现的概率为0.1％，即千分之一）。也就是说，不会出现单一的平均结果，而会出现各种结果的概率分布。麦克斯韦察觉到了大量分子间的能量分配可能遵循同样的概率分布。博弈论的成功之处在于证明了纯策略的概率分布（混合策略）能够使效应最大化（或损失最小化），特别当你的对手是理性的时候（意味着他们也采取混合策略）。
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设想你在重复玩猜硬币之类的简单游戏，在游戏中你去猜对手的硬币是正还是反。你的最佳混合策略是一半选择正（另外一半选择反），但是仅仅达到50-50的平衡还不够。你的选择应该是随机的，这样才能反映出等可能性策略的概率分布。如果你只是交替地选择正或反，对手很快就会发现你的选择模式并加以利用，那么对开两种选择也就毫无益处。如果你完全随机地选择，那就要另当别论了，比如说在10次选择中，选择9次正面的概率为1％。
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在一本科林·卡麦勒有关行为博弈论的书中，他把该原理应用到存在着类似50-50的网球比赛中：是打对手的左边还是右边。为了让对手无法预知，打左边还是右边应当是随机的。业余选手在左与右之间交替的往往过于频繁，不能达到适当的概率分布，而职业选手却更接近理想的分布。这暗示博弈论确实能够赢得最优行为，并且人类确实有学习使用博弈理论来理性地做决策的能力
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同时我认为，博弈论在定量人类行为中的应用前景和这种学习能力相关。在很多情况下，随着时间的流逝，人们确实能学会如何决策才可达到纳什均衡。虽然在学习过程中要处理很多细微变化和复杂因素，但至少我们看到了希望。
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第五节 统计学重返社会
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当然，真实情境，文明的兴起，文化、社会的发展比掷硬币、打网球复杂得多，就连非生物界也同样如此。在大部分物理学和化学领域中，未知现象很少只包含两种等可能情况，所以计算这种概率分布远比掷硬币复杂得多。先是麦克斯韦，然后是波尔兹曼，再是美国物理学家J. 威拉德·吉布斯，他们花费了大量精力，发明了更精确的公式，就是今天的统计力学，有时简单地称为统计物理学。统计力学的用途远远超出了气体，包括在各种环境下各种状态的物质的行为。它还被用来描述电和磁的相互作用、化学反应、相变（例如溶化、沸腾、凝固）以及其他所有的物质和能量转化方式。
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统计力学在物理学上的成功使许多物理学家信心倍增，认为它在研究人际关系时也能取得同样的成功。如今，一大批科学家正在探索物理新领域，这种研究便成为他们最喜爱的消遣方式。从股票市场中资金的流动到州际高速公路上的车流，一切的一切都已经是统计物理学的研究课题。
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用统计物理学去描述社会并不是一个全新的尝试。但是，直到20世纪最后的几年，对这个领域的研究才有爆炸式的增长。随着21世纪的到来，这种趋势变成一种潮流。在这种潮流背后，迸发了人们对复杂网络数学的新思考。在统计物理学描述网络结构的同时，也把一个名不见经传的数学分支——图论推向了社会物理学的最前沿。它的产生源自一场游戏，游戏中的明星是凯文·培根。
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纳什均衡与博弈论：纳什博弈论及对自然法则的研究 第八章 培根的链接——网络、社会与博弈
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与亚原子的粒子物理学或是宇宙的大尺度结构物理学不同，网络科学是现实世界的科学——一个关于人类、友谊、谣言、疾病、时尚、各类公司和金融危机的世界。
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——邓肯·瓦茨，《六度空间》
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现代科学的发展从一个叫培根的人身上获益匪浅。
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如果你在4个世纪前这样说，那么你指的应该是弗朗西斯·培根，那位强调实验方法在研究自然事物中重要性的英国哲学家。培根的影响如此之大，以致现代科学的诞生有时被称为培根式的革命。
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然而，现今再以同样的口气谈及培根和科学时，很可能你指的不是弗朗西斯·培根而是凯文·培根，一位好莱坞演员。有些观察家甚至会说第二次培根式的革命正在到来。
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毕竟，现在每个人都知道凯文·培根是电影界联系最广的演员。他演过太多的电影以至于你可以把任何两个演员通过他出演过的电影联系起来。例如约翰·贝鲁什和黛米·摩尔可以通过培根的角色联系起来，前者和培根共同出演过《动物屋》，后者和培根联袂出演过《义海雄风》。从来没和培根对过戏的演员可以间接联系到一起：佩勒洛普·克鲁斯没有和培根演过戏，但是她和汤姆·克鲁斯演过《香草天空》，而汤姆·克鲁斯则和培根一起演过《义海雄风》。到2005年中期时，培根已经和几乎2000名其他演员共同演过电影了，他可以在六步之内和一个1892年以来的演员数据库内99.9％的人联系到一起。在这点上培根声名远扬，颇具传奇色彩，他甚至因此获得了一个在“超级碗”职业橄榄球冠军联赛期间播出的电视广告中担当主角的机会。
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培根的名声推动了一门数学分支——图论的复兴——通俗地讲就是网络的数学。培根在演员网络中的角色促使数学家们去发现所有可以用统计物理学描述的网络所具有的新特性。特别地，现代培根式科学让统计物理学家们把注意力转向了社会网络，提供了一种研究人类集体行为的新方法。
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实际上，这种新型的网络数学已经开始为研究人类社会交互的科学描绘一张蓝图，一部“自然法典”。然而至今为止，用来量化社会网络的统计物理学方法大多都没有注意到博弈论的作用，虽然很多研究者相信这两者之间存在着或者将会产生某种联系。因为博弈论不仅是用来分析个体行为的数学，正如你想起来的——博弈论也可以使得那些形成复杂网络的规则失效。凯文·培根网络游戏最终可能发展成为网络科学和博弈论的交叉学科。
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第一节 六度空间
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在20世纪90年代初期，凯文·培根在热门影片中的频频出镜引起了一群宾夕法尼亚大学学生的注意。他们发明了一种聚会游戏，在这种游戏中玩家要找到通过电影能形成的最短路径将培根和其他一些演员联系起来。这个游戏在1994年的一个电视脱口秀节目中播出时被几个聪明的弗吉尼亚大学计算机系学生看到了。他们很快便开始了一个研究项目，建造了一个可以实时计算某个演员和培根的联系有多近的网页（你可以到oracleofbacon.org试试看）。1952个演员直接和培根在某部电影中共同出镜，他们的“培根数”计为1。另有169274人可以通过一个中间演员和培根联系到一起，他们的培根数计为2。超过470000的演员培根数为3。平均起来，培根可以在2.95步之内和电影数据库内的770269个演员联系在一起。在数据库的这770269人中，770187个人（几乎99.99％）是在六步以内和培根联系到一起的——换句话说，几乎所有的演员和培根的距离都在六度空间之内。
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