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第五节 无标度的幂
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到2004年中期为止，在“连接最多”的排名表（根据和其他所有演员连接起来用的平均步数）上居首的演员是罗德·斯泰格尔，2.679步。培根以2.95步排在第1049位（但是，培根仍然比99％的演员都有更多的连接，能担任起一个重要的枢纽）。第二位是克里斯托弗·李（2.684步），丹尼斯·霍珀紧随其后（2.698步）。唐纳德·萨瑟兰排在第四。在女性中连接最多的是卡伦·布莱克，排在第21位。
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正是这些高度连接的演员，或者说枢纽，使得只需几步就能从一个演员到其他任何演员变得容易。随机选取两个演员，你可能可以在三步之内把他们连接起来。需要超过四步的情况会很少见。如果你不断搜索，会找到一些需要更多步数的人，但那可能只是你故意选择很难连接的演员，就像某些只演过一部电影的人（并且记住，我说过你要随机选取两个演员）。
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举个例子，我随便想两个人，巴兹尔·拉思伯恩（因为我昨晚看了一部歇洛克·福尔摩斯的电影）和林赛·罗韩（没有原因——我不打算说我看过《金龟车贺比》）。这两个演员来自完全不同的时代，罗韩才出道，出演过相对较少的电影。但你只用三步就能把他们连起来。老迈的拉思伯恩和前逍遥骑士丹尼斯·霍珀共同出演过《吸血女皇》（1966）。霍珀和布鲁斯·麦克菲演过《黑帮二代》，后者和罗韩演过《青春舞会皇后》（2004）。拉思伯恩和罗韩之间的捷径是通过霍珀提供的枢纽促成的，事实上霍珀比培根连接的演员要多很多。（霍珀直接和其他3503个演员相连，比培根多大约1500个。）
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像霍珀这样的枢纽使得演员网络成为了小世界。他们使得从一个节点到另一个节点变得容易，就像芝加哥奥黑尔机场或者达拉斯-沃斯堡机场这种将航空网络中更小的机场联系起来的重要航空枢纽那样，让你从一个城市到另一个城市不用转机太多次。
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可是，在随机网络或者规则网络中一般都不存在这样的枢纽。在规则网络中，每个节点都有同样数目的连线，所以没有枢纽。在随机网络中存在捷径，但可能很难找到枢纽，因为突出的枢纽会非常稀少。在随机网络中，任意一个节点（演员或机场）被连接的可能和其他所有节点都一样，因此大多数点被连接的程度相当。只有很少的节点会有比平均数多很多或者少很多的连接。如果演员是随机连接的，他们按连接数量的排名会呈正态分布，大多数人的数量和中值接近。但是在很多小世界网络中，连接数量不存在这样的“典型标度”。
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这种没有典型标度的分布被称为“无标度”。在无标度网络中，很多偏僻的节点几乎根本没有任何连接，一些节点被适度连接着，而少量点则是超级连接枢纽。对数学家和物理学家来说，这样的无标度分布是“幂定律”的可信特征。
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圣母大学的雷卡·亚伯特（Réka Albert）和巴拉巴西（Albert-László Barabási）1999年在《科学》期刊上发表的开创性文章中指明了很多种网络的无标度性质，由此也指明了用幂定律描述这些网络的有效性。网络可以用幂定律来描述的发现在物理学家中引起了共鸣（他们对幂定律“垂涎三尺”，斯托加茨说——显然是因为物理学其他领域幂定律的发现已赢得了若干诺贝尔奖）。
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幂定律描述了包含很少大事物和很多小事物的系统，例如城市。有少量人口以百万计的美国城市，很多人口在十万和百万间的中型城市和更多小城镇。地震也是一样，有很多小型地震弱得都感觉不到，较少的中型地震能让碗碟颤动；极少数的破坏性大地震会使桥梁和建筑坍塌。
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巴拉巴西和亚伯特在他们的《科学》期刊论文中说明了无标度网络中的一个节点以某个特定连接数和其他节点相连接的概率，如何随着这个特定连接数的增大而降低。也就是说，无标度网络拥有很多弱连接的节点、较少中度连接的节点和少数的巨型节点——像万维网上的谷歌、雅虎和亚马逊。有很少连接的节点很普遍，像小型地震；有大量连接的节点也相应地稀少，像大地震。而且这种连接概率降低的速率可以用幂定律来量化，就像描述城市或地震规模分布的数学一样。换言之，一个好的网络理论不仅要解释凯文·培根（或者丹尼斯·霍珀）如何拥有那样多的连接，而且要解释为什么网络和地震近似。
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巴拉巴西和亚伯特提出的解释基于这样一种认识：网络一般不是由拥有固定连接数的节点形成的静态排列，而是在发展和进化的结构。巴拉巴西和亚伯特猜测，当网络通过增加新节点发展时，新连接不是随机形成的。每个新节点倾向于连接那些已经有很多连接的节点。换句话说，富者更富，这种发展过程的结果就是形成拥有丰富枢纽的无标度网络。这个过程的动力学表明“大型网络的发展是由超越个体系统细节的稳固的自组织现象支配的”，巴拉巴西和亚伯特指出。
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虽然他们的“优先连接”模式确实预测了枢纽的形成，但没有解释包括聚合在内的很多现实世界网络的其他特征。而且事实证明不是所有的小世界网络都是无标度的。例如巴拉巴西和亚伯特的原作中提出瓦茨和斯托加茨探索的网络既无标度又是小世界。但它们不是。输电线路是小世界但不是无标度，线虫的神经网络也不是，斯托加茨说。尽管如此有很多网络实例既是小世界又无标度，万维网就是个引人注目的例子。社会网络也很典型地既是小世界又无标度，因此按照幂定律理解网络对利用网络研究人类交互来说是个很好的策略。
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在巴拉巴西和亚伯特对网络发展进行量化的创举之后，很多其他团队加入了鉴别网络所有重要性质以及建立数学模型来解释它们的探索。在转向这个问题研究的组织中就有微软公司，他们显然对因特网和万维网非常感兴趣。因此他们的顶级科学家们忙于钻研网络数学。这个团队的领导者是一对夫妻搭档，珍妮弗·图尔·恰耶斯和她的丈夫兼同事克里斯蒂安·波格斯。当我访问西雅图外的微软研究实验室时，他们向我展示了为了把握万维网结构的精华，他们为鉴别网络数学所需特征所进行的努力。
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“因特网和互联网是自己成长起来的，它们不是被策划的，”恰耶斯指出，“没有人真正规划过因特网，当然也没有人规划过万维网的结构。”因此万维网蕴含了一个优秀数学模型需要把握的很多自然网络的细节，例如小世界性质（从一个网页到任意一个网页只需相对很少几步）和聚合现象（如果一个网页连接了10个其他网页，那10个网页里面的很多网页也很有可能会相互连接）。一个更重要的特征是巴拉巴西指出的优先连接，它调控了网络的成长或退化。当网络成长，有新网页添加进来时，资历较老的网页比新来者趋于获得更多的连接。但资历最老的网页并不总是连接最多的。“这不只是退化的过程。”恰耶斯解释道。例如埃尔塔·维斯塔（AltaVista）曾经是网络搜索引擎界的“卡迪拉克”。但是现在更年轻的谷歌有着更多的连接。因此网站不但要通过资历来获得连接，同样需要美貌——或者说“健康”。
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“埃尔塔·维斯塔存在的时间更久，但更多的人倾向于连接到谷歌——某种意义上更好的网页，”恰耶斯说，“当其他所有的条件对等时，资历老的网站会有更多的平均连接数，但如果一个网站比别的更健康，就会弥补资历的不足……如果我有两倍的健康和一半的资历，我将趋向于拥有同样数量的连接。”
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万维网的另一个和很多（但不是所有）网络共享的重要特征是它的连接是“定向的”。和因特网的线路向两个方向运行不同，网页超链接只向一个方向前进。“我连接到美国有线新闻网，并不意味着美国有线新闻网也连接到我，”恰耶斯说。（当然，尽管事实应该如此。）
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优秀的网络数学自然也需要说明万维网是无标度的。少数站点有大量的连接，更多的有着中等数量的连接，大多数几乎没什么连接。恰耶斯和波格斯强调描述万维网的方程应该不只是预测这种连接的分布，也应预测到网页“强连通分支”（strongly connected component，SSC）的存在。在强连通分支中，你可以通过每次点击一个超链接从任一网页跳转到另一网页。如果一个人的网页在强连通分支中，恰耶斯说，他便可以找到去其他任何强连通分支网页的路径。“我可以跟随一系列超链接到达那个人的网页，而且那个人可以跟随一系列超链接返回到我的网页。”
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波格斯指出一些网页可以连接到强连通分支，即使没有连接路径返回它们。一些网页被强连通分支中的网页连接，但并不连接强连通分支的网页。他强调，知道哪些网页在强连通分支内，或者以何种方式与强连通分支相连，对万维网广告客户会很重要。
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建立能再现万维网所有这些特征的数学模型的工作仍在进行中。但是迄今为止建立起的万维网和其他网络的模型已经提示我们，未来的数学家们有朝一日可能能够解释在人类事务中遇到的很多网络行为——例如经济、政治和社会网络；生态系统；细胞内的蛋白质网络；还有传播疾病的接触网络。“我认为会诞生一门网络数学，”恰耶斯说，“这是非常令人兴奋的新兴科学。”
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第六节 回到博弈论
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既然博弈论也宣称其在描述人类行为方面的支配作用，我问恰耶斯博弈论是否会在新型社会网络数学中起作用。幸运地是，她说是的。“我们在尝试解释为什么网络结构是按那样的方式发展起来的，那的确是个博弈论问题，”恰耶斯说，“因此建立起描述因特网和万维网发展的博弈论模型，还有很多工作要做。”
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事实上，恰耶斯、波格斯和他们的同事已经提出了一种至少在本质上和博弈论近似的数学方法可以解释在网络发展中出现的优先连接现象（而不是像巴拉巴西和亚伯特那样仅仅设想）。那是一种出于竞争考虑的成本最小化——连接的成本和连接之后的运行成本（有些像买车——你可以买保养费用很高的便宜车，或者支付更多买高性能低维护费的车）。这种平衡可以看作两种不同网络结构的竞争，预测最小成本的数学也预测了一种类似优先连接的东西来描述网络的发展。
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博弈论被更直接地用来解释其他种类网络的发展。例如网络模型常被用来解释活细胞内化学物质的相互作用。数千蛋白质相互作用最终决定了细胞的行为，这些行为通常是关系到存亡的极为重要的事情。博弈论可以帮助解释这些生化网络如何进化成它们现在的复杂形态。
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当然，生物学家会自然地设想细胞代谢会进化到能最有效维持细胞活动能量的某种“最优”状态。但什么是最有效？那取决于环境，而环境包括了向着最优状态进化的其他物种。“因此，有机体通过向最优状态进化改变了它们的环境，这反过来改变了最优状态，”计算生物学家托马斯·菲佛和生物学家斯蒂凡·舒斯特尔解释说。这种动态过程对博弈论，尤其是进化博弈论来说正是最优的。例如，细胞化学网络中一种关键的分子是三磷酸腺苷（ATP），它为重要代谢过程提供必需的能量。ATP是一连串化学反应的产物。为了生存，细胞需要持续的ATP来源，因此这种反应“组装”线必须时刻不停地运转。
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