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基础拓扑学讲义 [:1701040198]
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基础拓扑学讲义 引言 （拓扑学的直观认识）
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“什么是拓扑学？”这是许多初学者都会提出的问题．拓扑学是一种几何学，它是研究几何图形的．但是拓扑学所研究的并不是大家最熟悉的普通的几何性质，而是图形的一类特殊性质，即所谓“拓扑性质”．于是，要了解拓扑学就要知道什么是图形的拓扑性质．然而，尽管拓扑性质是图形的一种很基本的性质，它也具有很强的几何直观，却很难用简单通俗的语言来准确地描述．它的确切定义是用抽象的语言叙述的，这里还不能给出．下面介绍几个有趣的问题，它们涉及到的都是图形的拓扑性质，希望读者能从中得到关于拓扑性质的一些直观认识．
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一笔画问题和七桥问题
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一笔画是一个简单的数学游戏．平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上不重复？例如汉字“日”、“中”都是可以一笔写出来的，而“田”和“目”则不能一笔写成．
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显然，通常的几何方法在一笔画问题上是没有用的，因为“图形能不能一笔画成”和图形中线段的长度、形状等几何概念没有关系，要紧的是线段的数目和它们之间的连接关系，也就是说一笔画问题的关键是图形的整体结构．我们可以随意地将图形变形，如拉伸、压缩或弯曲等，甚至可将一些线段搬家（但保持端点不动），只要图形的整体结构不改变，“能不能一笔画出”这个性质是不会改变的．例如图1中的（a）和（b）都是“日”字的变形，都能一笔画出；（c），（d）和（e）都是“田”字的变形，都不能一笔画出．
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著名的七桥问题对拓扑学的产生和发展曾起了一定的作用，实质上它是一个一笔画问题．七桥问题是这样的：流经哥尼斯堡的普雷格河的河湾处有两个小岛，七座桥连结了两岸和小岛（图2左图）．当地流传一个游戏：要求在一次散步中恰好通过每座桥一次．很长时间里没有人能做到．后来大数学家Euler研究了这个游戏．他用点代表陆地（两岸和岛），用连结各点的线代表桥，得到图2右图中的图形．于是上述游戏变成这个图形能不能一笔画成的问题了．Euler证明它是不能一笔画成的．
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图1
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图2
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正是七桥问题和其他类似性质的问题，使Euler和他那个时代的其他数学家开始认识到：存在着某种新的几何性质，它们和欧氏几何中研究的几何性质完全不同．这种认识是拓扑学产生的背景．
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地图着色问题
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给地图着色时，要把相邻的国家（或区域）着上不同的颜色，以便容易地加以区分．那么绘图员至少要准备多少种颜色才能给任何地图着色？这个问题看起来简单，却出人意料地难以解决．图3中的地图虽只有四个区域，却是两两相邻的，因此它需用4种颜色着色．这个例子说明上述问题的答案应不小于4．数学家明确提出这个问题不很久，证明了有5种颜色是够用的．于是问题集中到“4种颜色够不够？”上，就出现了著名的“四色问题”．它从1852年由F. Guthrie提出后，直到本世纪七十年代才借助计算机得到肯定性的解答．
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图3
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地图着色问题同一笔画问题一样，也具有“拓扑”特性：它与度量（区域的面积、边界线的长度等）和形状都没有关系，关键是区域的个数和它们的邻接关系；地图经过变形（缩放或作各种投影）所需颜色数不变．
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Euler多面体定理
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这是立体几何中的一个有名的定理：凸多面体的面数f，棱数l和顶点数v满足Euler公式
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f－l＋v＝2．
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表面上看，似乎它和一笔画、地图着色问题不一样，凸多面体是平直图形，不能随意变形．但只要对Euler多面体定理稍加推广，就可看出它的“拓扑”特性了．
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图4
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把多面体放进一个大球体内，使球心在多面体内部．于是，从球心作的中心投影把凸多面体的棱映射成球面上的曲线（实际上是大圆弧），顶点映成球面上的点．这些点和大圆弧构成球面上的一个图（网络）（图4），它把球面分割成f块，有l条枝（大圆弧）和v个节点．