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基础拓扑学讲义 [:1701040201]
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§2 连续映射与同胚映射
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连续映射是拓扑学中另一个最基本的概念和研究对象．
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2.1 连续映射的定义
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和分析学中一样，连续性是一种局部性概念．
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定义1.6 设X和Y都是拓扑空间，f：X→Y是一个映射，x∈X．如果对于Y中f（x）的任一邻域V，f-1（V）总是x的邻域，则说f在x处连续．
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容易看出，如果把定义中“任一邻域V”改成“任一开邻域V”（即包含f（x）的任一开集V），那么定义的意义不变．因此f在点x处连续也就是“对包含f（x）的每个开集V，必存在包含x的开集U，使得f（U）⊂V”，这就是§1中连续性定义的开集语言．
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命题1.8 设f：X→Y是一映射，A是X的子集，x∈A．记fA＝f｜A：A→Y是f在A上的限制，则
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（1）如果f在x连续，则fA在X也连续；
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（2）若A是x的邻域，则当fA在x连续时，f在x也连续．
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证明 （1）设V是fA（x）＝f（x）的邻域，则f-1（V）是x在X中的邻域，即存在开集U，使得x∈U⊂f-1（V）．而（V）＝A∩f-1（V）⊃A∩U，这里A∩U是A的包含x的开集．这就验证了fA在x的连续性．
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（2）设V是f（x）的邻域，根据条件存在A中的开集UA，使得x∈UA⊂（V）＝A∩f-1（V）．设UA＝U∩A，其中U是X的开集．则U∩也是X的开集，且x∈U∩⊂UA⊂f-1（V）．因此f在x连续． ▎
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此命题的（2）说明f在某点x处的连续性只与f在x附近的情形有关．
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定义1.7 如果映射f：X→Y在任一点x∈X处都连续，则说f是连续映射．
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连续映射具有“整体性”的描述方式．
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定理1.1 设f：X→Y是映射，下列各条件互相等价：
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（1）f是连续映射；
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（2）Y的任一开集在f下的原像是X的开集；
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（3）Y的任一闭集在f下的原像是X的闭集．
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证明 （1）（2）设V是Y的开集，U＝f-1（V）．∀x∈U，V是f（x）的邻域，由于f在x连续，x是U的内点．由x的任意性，是开集．
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（2）（3）设f是Y的闭集，则fc是开集，因此f-1（fc）是X的开集．于是f-1（f）＝（f-1（fc））c是X的闭集．
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