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基础拓扑学讲义 [:1701040204]
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§1 分离公理与可数公理
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在第一章中已经看到，欧氏空间和度量空间中有些熟知的性质在一般拓扑空间中可能要失去．这说明拓扑公理只是概括了度量拓扑最基本的性质，而不是全部性质．有时，这种不足会带来不方便．分离性和可数性常作为附加性质，弥补拓扑公理的不足．因此它们本身也被称为公理．有两个可数公理和一系列分离公理．这里介绍这两个可数公理和四个较常用的分离公理：T1，T2，T3和T4公理．
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1.1 T1公理和T2公理
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分离公理都是关于两个点（或闭集）能否用邻域来分隔的性质，是对拓扑空间的附加要求．
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T1公理 任何两个不同点x与y，x有邻域不含y，y有邻域不含x．
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T2公理 任何两个不同点有不相交的邻域．
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不难看出这里“邻域”可改成“开邻域”，而公理的含义不变．
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显然满足T2公理也一定满足T1公理，但从T1公理推不出T2公理．例如（R，τf）满足T1公理，因为x≠y时，R｛y｝就是x的邻域，它不包含y；而R｛x｝是y的不含x的邻域．但是x与y的邻域一定相交（它们都是有限集的余集），因此（R，τf）不满足T2公理．
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下面的命题更加清楚地阐明了T1公理的意义．
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命题2.1 X满足T1公理X的有限子集是闭集．
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证明 ．只须证单点集是闭集．取x∈X．当y≠x时，T1公理说y有邻域不含x，因此，｛x｝为闭集．
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．设x≠y，因为｛y｝是闭集，所以X｛y｝是x的开邻域，它不含y．同样，X｛x｝是y的不含x的开邻域． ▎
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推论 若X满足T1公理，A⊂X，点x是A的聚点，则x的任一邻域与A的交是无穷集．
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证明 用反证法．设x有邻域U，U∩A是有限集，不妨设U是开集．记B＝（U∩A）｛x｝，它是有限集，因此是闭集．于是，UB＝U∩Bc仍是x的开邻域，它不含A｛x｝中点，这与x∈A′矛盾． ▎
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T2公理是最重要的分离公理．满足T2公理的拓扑空间称为Hausdorff空间．以后我们会见到它的许多应用．下面的命题表明它在改善序列收敛性方面的作用．
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命题2.2 Hausdorff空间中，一个序列不会收敛到两个以上的点．
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证明 设Hausdorff空间X中的序列｛xn｝收敛到x0，又设x≠x0，要证明xn↛x．取x0和x的不相交邻域U和V．因为xn→x0，所以U中含｛xn｝的几乎所有项．于是V最多只能含｛xn｝的有限个项，从而xn↛x． ▎
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1.2 T3公理和T4公理
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T3公理 任意一点与不含它的任一闭集有不相交的（开）邻域．
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T4公理 任意两个不相交的闭集有不相交的（开）邻域．
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（当时，说U是集合A的邻域）．
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如果X满足T1公理，则它的单点集是闭集，因此T3公理推出T2公理，T4公理推出T3公理．然而没有T1公理的前提时，上述关系不成立．例如在（R，τ）（τ＝｛（－∞，a）｜－∞≤a≤＋∞｝）中，任何两个非空闭集都相交．因此若A与B是不相交的闭集，则其中有一为空集，设B＝∅，于是R与∅是它们的不相交邻域．这说明了（R，τ）满足T4公理，而它不满足T1、T2和T3公理（请读者自己检验）．
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