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基础拓扑学讲义 [:1701040208]
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§5 道路连通性
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道路连通是在直观连通概念基础上演化来的另一个拓扑性质．对于它，“道路”是关键概念．
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5.1 道路
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道路概念是“曲线”这种直观概念的抽象化．曲线可看作点运动的轨迹．如果把运动的起、终时刻记作0和1，那么运动就是闭区间［0，1］到空间的一个连续映射，曲线就是这个映射的像集．拓扑学中把这个连续映射称作道路，它比像集包含更丰富的含义．
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定义2.9 设X是拓扑空间，从单位闭区间I＝［0，1］到X的一个连续映射a：I→X称为X上的一条道路．把点a（0）和a（1）分别称为a的起点和终点，统称端点．
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道路是指映射本身，而不是它的像集．事实上可能有许多不同道路，它们的像集完全相同．在作图时，很难把映射表示出来，只能以它的像集代表它，并且画一箭头表示点运动的方向（图2-7）．
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图2-7
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如果道路a：I→X是常值映射，即a（I）是一点，就称为点道路．点道路完全被像点x决定．本书中把它记作ex．
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起点与终点重合的道路称为闭路．例如点道路是闭路．
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道路有两种运算：逆和乘积．
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定义2.10 一条道路a：I→X的逆也是X上的道路，记作规定为∀t∈I（图2.8（a））．
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图2-8
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X上的两条道路a与b如果满足a（1）＝b（0），则可规定它们的乘积ab，它也是X上的道路，规定为
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（因为a（1）＝b（0），当t＝1/2时，a（2t）＝a（1）＝b（0）＝b（2t－1）．所以ab是确定的，并且由粘接引理知道，它是连续的．）（图28.（b））．
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下面列出关于逆和乘积的几个性质，它们是容易验证的．
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