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基础拓扑学讲义 [:1701040215]
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基础拓扑学讲义 第四章 同伦与基本群
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本章和以后各章所讲的都属于代数拓扑学的范畴．代数拓扑学的基本思想是对拓扑空间建立以代数概念（如群、交换群、环等）为形式的拓扑不变量，从而把代数方法引进拓扑学的研究中来．我们已说过，要判定空间不同胚，需要用拓扑性质（不变量）．第二章中，我们已看到分离性、可数性、紧致性和连通性这些拓扑性质在这方面的应用．然而用这些概念能解决的问题毕竟太少了，本书至此已积累了不少尚未解决的重要问题，如En与Em（当n≠m时）是不是不同胚？与E2的不同胚问题，S2与T2以及S2与D2等等不同胚的判定．在这许多问题上，代数拓扑学将表现出它的威力．
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同伦论和同调论是代数拓扑学的两大支柱．本书中只能涉及到它们的一些初步知识．同伦是同伦论的最基础的概念之一；基本群是1维同伦群，它是代数拓扑学中最简单，用途最广的部分．
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闭曲面分类定理尚未完成的那一半证明涉及到判定两个空间不同胚的问题．例如怎么证明直观上看，T2有洞，可以用线拴住，球面拴不住．但这里并不是指拴它们的线圈能否移走（在4维空间中，栓环面的线圈也能移走），正确的解释为：球面上弹性极好的闭合线圈可以在球面上滑缩为一点，而在环面上有些闭曲线（如经圆或纬圆）不能在环面上滑缩为一点．类似的差别也出现在平环与圆盘的比较中．显然圆盘上的闭曲线可容易地在圆盘上收缩为一点，而平环上环绕着它的洞的闭曲线被洞阻挡而缩不成一点（图4-1）．
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基本群就是在闭曲线的可收缩性这种直观背景的基础上发展起来的一种结构．拓扑学中用道路概念替代曲线．道路本身是一种连续映射．为了理解道路的收缩和变形的意义，先一般地介绍连续映射的变形，也就是同伦概念．
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图4-1
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基础拓扑学讲义 [:1701040216]
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§1 映射的同伦
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同伦就是映射间的连续变形．设X和Y都是拓扑空间，记C（X，Y）是X到Y的所有连续映射的集合．设f，g∈C（X，Y），所谓f与g同伦，就是指f可以“连续地”变为g．这意味着在每一时刻t∈I，有一连续映射ht∈C（X，Y），h0＝f，h1＝g，并且ht对t有连续的依赖关系．确切的定义为
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定义4.1 设f，g∈C（X，Y）．如果有连续映射H∶X×I→Y，使得∀x∈X，H（x，0）＝f（x），H（x，1）＝g（x），则称f与g同伦，记作或简记为称H是连接f和g的一个同伦（或称伦移），记作（或（图4-2）．
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对每个t∈I，同伦H决定ht∈C（X，Y）为：ht（x）＝H（x，t），于是得到单参数连续映射族｛ht｜t∈I｝，称ht为H的t-切片．根据定义h0＝f，h1＝g①．
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图4-2
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例1 设f，g∈C（X，En）．规定H∶X×I→En为
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H（x，t）＝（1－t）f（x）＋tg（x）．
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容易验证H是f到g的同伦（习题1）．H的直观意义为：当t从0变到1时，ht（x）从f（x）到g（x）作匀速直线运动．因此称这种同伦为直线同伦．直线同伦构作的基础是线段因此，把En换成En的凸子集，同样可构造直线同伦．
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例2 若f，g∈C（X，Sn），使得∀x∈X，f（x）≠－g（x），则可规定f到g的同伦H为（图4-3）．H有意义是因为原点从而对任何t∈I，‖（1－t）f（x）＋tg（x）‖≠0．
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