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基础拓扑学讲义 [:1701040222]
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*§6 Jordan曲线定理
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平面或球面上同胚于圆周S1的子集称为Jordan曲线，或称为简单闭曲线．
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定理4.10（Jordan曲线定理） 若J是E2上的一条Jordan曲线，则E2\J有两个连通分支，它们都以J为边界．
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这是一个应用十分广泛的著名定理．它看起来很直观，而证明起来很困难，但迄今已有不少证法．下面用基本群为工具给出一个证明．
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先指出几个明显事实．
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（1）E2\J是E2的开集，因此是曲面，并且没有边界点．它局部道路连通，从而连通分支就是道路分支，并且都是E2中的开集．
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（2）E2\J有唯一无界连通分支．
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图4-32
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（3）如果把定理中E2换成S2，与原定理等价．
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引理 D2上连结边界S1上两个不同点，并且不经过S1的其他点的道路a分割D2（即D2a（I）不道路连通）．
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证明 由于只须对I×I证明相应的命题．不妨设a是从I×I的顶点（1，0）到（0，1）的道路，它不经过其他边界点（见图4-32）．我们证明，I×I中从（0，0）到（1，1）的任一道路b都与a相交，即存在s，t，使得a（s）＝b（t）．从而（0，0）和（1，1）属于I×Ia（I）的不同道路分支．
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用反证法，设∀s，t，a（s）≠b（t）．则可构造连续映射f：I×I→S1为
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则f（0，0）＝1，记m1，m2，m3和m4分别是S1上在四个象限中的弧（图4-33）．记I×I四条边决定的道路为和如图中所标，则不难发现，的像在mi上．由此可看出是S1以1为基点的闭路，圈数为1．但是是I×I中的闭路，因此是π1（S1）的单位元，矛盾． ▎
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图4-33
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定理4.10的证明 证明分三步进行．
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第一步 证明E2\J不道路连通．