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1701045665 基础拓扑学讲义 [:1701040228]

1701045666 基础拓扑学讲义第六章　单纯同调群（上）

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1701045668 同调理论是代数拓扑学的最基本的组成部分．在同调论中，拓扑空间对应着一系列交换群，称为它的同调群；连续映射对应着空间的同调群之间的同态．它们有拓扑不变性和同伦不变性，从而深刻地反映了空间的拓扑特征．并且因为我们同时建立各种维数的同调群，所以它们不仅能像基本群那样解决低维几何问题，也能解决高维问题．

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1701045670 有多种同调论系统，单纯同调论是其中最简单、出现最早的一种．它只适用于一类特殊的空间，这种空间是欧氏空间中具有组合结构的紧致子集，能用一些最简单的几何体（所谓“单纯形”）有规则地拼接成．单纯同调论正是利用这种组合结构，用组合方法构造同调群的，因此也称作组合拓扑学．

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1701045672 单纯同调论几何直观强，易于计算．尽管它对空间的要求似乎过于苛刻，但许多常用空间都符合其要求，再加上同伦不变性，它仍不失去广泛的应用．它还是学习其他同调论的基础．

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1701045674 单纯同调论内容十分丰富，理论的建立也比基本群困难得多．本书只能介绍它的最基础的部分．本章讲单纯同调群的定义及有关的基本概念；第七章讲连续映射导出的同调群的同态，第八章介绍单纯同调群的一些应用．

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1701045678 我们涉及的群都是交换群（或称Abel群），按照代数学的习惯，以后群的运算称作加法，单位元记作0；平凡群称为零群，也记作0；平凡同态称为零同态；两个群的直积称作直和，并用作运算符号，例如ZZ就是Z×Z．本书将用到的有关交换群的一些知识（主要是有限生成交换群的直和分解定理）放在附录A中．

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1701045680 基础拓扑学讲义 [:1701040229]

1701045681 §1　单纯复合形

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1701045683 本节介绍单纯同调论所适用的空间．关于欧氏空间，我们作如下约定：当n＜m时，En将自然看作Em的子空间，它由Em中后面m－n个坐标为0的那些点所构成．因此低维欧氏空间中的图形也自然是高维欧氏空间中的图形．一般地我们将不指出欧氏空间的维数，读者可认为一切讨论都是在足够高维的欧氏空间中进行的．

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1701045685 1.1　单纯形

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1701045687 单纯同调论所适用的空间是用各种维数的单纯形所构造的．低维的单纯形是我们十分熟悉的几何图形：0维单纯形是点，1维单纯形是直线段，2维单纯形是三角形，3维单纯形是四面体．高维单纯形则是它们的高维类似物，为了给出它的明确定义，先来分析低维单形的几何特征．

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1701045689 首先，低维单纯形都是各自顶点集的凸包，即包含它的各顶点的最小凸集，从而它们由顶点完全确定．其次，这些低维单纯形的顶点是要满足一定的几何条件的，如三角形的三个顶点不共线，四面体的顶点不共面等．这些条件推广为下面的概念：欧氏空间中的有限点集A＝｛a0，a1，…，an｝称为处于一般位置（或称几何无关），如果对于它们，满足下列两个条件：

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