1701046502
基础拓扑学讲义 [:1701040232]
1701046503
§4 计算同调群的实例
1701046504
1701046505
和基本群不同，同调群的定义本身给出了计算它的途径．但是一般来说，按照定义作计算，工作量是很大的．下面通过几个实例介绍一些计算中的技巧．
1701046506
1701046507
例1 单纯锥是零调的（零调的定义见§3习题4）．
1701046508
1701046509
设K是单纯锥，a为一个锥顶．
1701046510
1701046511
1701046512
K是连通的，因此下面证明
1701046513
1701046514
Hq（K）＝0，q＞0．
1701046515
1701046516
如果K只有一个顶点a，结论显然．下面讨论K不只一个顶点的情形，记L是K中所有不以a为顶点的单形构成的子复形，称为单纯锥K的锥底（相对于锥顶a的）．
1701046517
1701046518
当q＞0时，对于L中的q－1维链c＝Σniti，规定K中的q维链．
1701046519
1701046520
ac∶＝Σniati．
1701046521
1701046522
不难得到，
1701046523
1701046524
∂q（ac）＝c－a∂q－1c
1701046525
1701046526
（习题1）．
1701046527
1701046528
当q＞0时，K中q维定向单形或在L中，或可写成at或－at的形式，其中t∈Tq－1（L）．因此，∀c∈Cq（K）有唯一的分解式
1701046529
1701046530
c＝c′＋ac″，
1701046531
1701046532
其中c′∈Cq（L），c″∈Cq－1（L）．如果c∈Zq（K），则
1701046533
1701046534
0＝∂qc＝∂qc′＋c″－a∂q－1c″，
1701046535
1701046536
其中∂qc′＋c″∈Cq－1（L）．于是有
1701046537
1701046538
∂qc′＋c″＝0和∂q－1c″＝0．
1701046539
1701046540
1701046541
取则
1701046542
1701046543
1701046544
1701046545
1701046546
因此c∈Bq（K）．我们证明了q＞0时Zq（K）＝Bq（K），从而Hq（K）＝0．于是，单纯锥是零调的．
1701046547
1701046548
1701046549
1701046550
例2 设是n维单形，n＞1，则K是单纯锥，因此有
1701046551