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基础拓扑学讲义 [:1701040242]
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基础拓扑学讲义 附录A 关于群的补充知识
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我们假设读者已具备群的初步知识，包括群，同态，同构，子群，正规子群，商群，元素的阶，交换群（或称Abel群）等概念，以及循环群，自由循环群等具体例子．
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本附录介绍本书中要用到的关于群的一些知识．主要是有限生成交换群的直和分解定理和秩，以及群的交换化．交换群中的运算称作加法，用“＋”表示，单位元记作0，相应地把平凡群称作零群，平凡同态称作零同态，都记作0．
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1．自由交换群与有限生成交换群
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定义A.1 交换群F称为自由交换群，如果有子集A⊂F，使得∀x∈F可唯一表示成A中有限个元素的整系数线性组合：
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ai∈A，ni∈Z．
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称A为F的一个基．
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如果自由交换群F有一个基A只包含有限个元素，则称F是有限基自由交换群．
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设A是自由交换群F的基，H是一交换群，则从A到H的任一对应θ∶A→H可按下式唯一决定同态φ∶F→H，
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称φ是θ的线性扩张．
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定义A.2 如果交换群H有一有限子集
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A＝｛a1，a2，…，ar｝，
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使得H的每个元素x可表成
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的形式，则称H是有限生成交换群，称A是它们的一个生成元组．
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命题A.1 交换群H是有限生成的H是一个有限基自由交换群的商群．
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证明 ．设j∶F→H是满同态，其中F是有限基自由群．设｛f1，f2，…，fr｝是F的基，则显然｛j（f1），…，j（fr）｝是H的生成元组．
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．取H的生成元组｛a1，a2，…，ar｝．构作F为
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F＝｛（n1，…，nr）｜ni∈Z｝，
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则F在向量加法下是有限基自由交换群．规定对应j∶F→H为则j是满同态． ▎
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