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数学恩仇录：数学家的十大论战 费马，犹豫不决的业余数学家
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费马生于1601年，比笛卡儿小5岁，父亲是一个生意兴隆的皮革商，也是镇里的第二事务顾问，母亲也有很高的社会地位。在受完扎实的中学教育之后，他又于1631年在图卢兹（Toulouse）大学获得法律学位。当作古典学者来受培养的费马精通拉丁语和希腊语，对“恢复”古代学者失传的成果很感兴趣。这其中，就有两位伟大的古希腊数学家阿波罗尼奥斯和巴伯斯的成果。尽管如此，这时候，他将成为那个时代最伟大的一位数学家这一点还没有露出端倪。
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1638年，他被提名为图卢兹的一名法官，接着，他在1648年晋升为国王的议员。虽然他一生中的大部分时光在图卢兹度过，但他在波尔多（Bordeaux）也住过几年。正是在波尔多的这几年，在他大约20岁时，费马对韦达的工作入了迷。
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17世纪30年代中期，他认识了梅森，并被邀和巴黎数学家群体通信。1636年春，他已经在那些后来让笛卡儿沮丧的观念上下功夫了。
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但费马的叙述显得不是很自信，他竭力想左右逢源。他希望得到赏识，而不想招惹批评。罗贝瓦尔主动要求编辑和出版费马的部分著作，但费马委婉地谢绝了。尽管如此，随着他坚持和数学家同行进行通信联系，他越来越出名了。贝格兰是这些数学家中的一位，实际上他也以“发现”费马而自豪。
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那么，贝格兰送给费马一份《折射光学》的抄本并征求他的意见，就不是什么意外的事了。当然，这些意见最后都会被梅森得知。当梅森收到它们时，他看到了麻烦的苗头，在把它们转给笛卡儿之前，他胆战心惊了几个月，尽管笛卡儿在《方法论》中已经申明他欢迎大家的评论。但是在最后，梅森还是硬着头皮把它们送给了笛卡儿。这样做的结果，我们已经在上文看到了。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 抨击和回应
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在这一年的年底时，笛卡儿忙于应付。他甚至开始怀疑，有人合伙图谋攻击他，以破坏他的创作。他写信给梅森，指出诸如帕斯卡和罗贝瓦尔等几个对手，说“我请求你注意，看他们是否还没有去掉E到a（E jusques a）这样的单词，并换上B包括en（B pris en）。因为这是他们在书信中提到我的方式，为的是败坏我所说的东西的意义。”(28)费马的回应更加让人不安。
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从来都不善于接受批评的笛卡儿，面临着一系列灾难性的事件。他毕生心血的工作受到了批评，这对其精神是一个极大的打击。马霍尼写道：“笛卡儿竭力使他在《折射光学》和《几何》中所运用的数学知识不招惹妒忌，因为这个数学新方法是《方法论》中意义更大的哲学方法的源头。攻击它、修正它或者发现它里面缺乏一些东西，都是对笛卡儿整个计划的打击；宣称独立地或早于他得出类似的结论，都会让人对（笛卡儿）成果的独特性表示怀疑。”(29)但是到该年年底，费马却偏偏那样做了。况且，在笛卡儿的眼里，这些异议都来自他可恶的对手让·贝格兰的门徒。
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笛卡儿不是能够平静接受这种纠纷局面的人。作为一个在任何场合都喜好争论的人，他感到这是一个需要纠正的局面。
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笛卡儿审视了一遍费马的论述。1638年，他开始反击。他脑中有一个特别的计划——也就是说很难断定，是破坏费马日隆的声誉，或者仅是对费马的批评做出回应。他针对费马的数学特别提出了一些异议——例如，对他如何找到摆线的切线——在另一方面，在一封给梅森的信中，他指责费马既缺乏做数学家的素质，也缺乏做一个思想者的素质。他说，费马的方法有缺陷，因此，几乎没什么价值。他更进一步地暗示说，费马的很多成果都应该归功于他。
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这是很不公平的。虽然费马的解析几何在1625年左右才最终成形，但在很早之前，他已经在解析几何的好几个方面取得了进展。另外，到1635年，费马已经将他的方法用于解决轨迹问题，这个问题是费马和笛卡儿两人在这个领域的出发点。人们普遍认为，在当时，费马完全不知道笛卡儿的成果。
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此时参与这场纠纷的人中，罗贝瓦尔和帕斯卡站在费马一边，克劳德·迈多治（Claude Mydorge）和吉拉德·德扎格（Girard Desargues）站在笛卡儿一边。
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虽然现在费马被认为是他那个时代最伟大的数学家之一，但他在论文中常常忽略细节，这可能会很轻易地让笛卡儿找到驳斥的口实。早些时候，在他和笛卡儿闹矛盾前，费马的一些同行就被他看起来很傲慢的态度所激怒过。例如，他会说他已经解决过某问题了，从而不理睬别人对他的质疑，但他又不作详细说明。他真的解决了这些问题吗？我们今天围绕费马最后定理所做的工作，就是一个很能说明这种情况的例子。费马在一本书的空白处写道他已经解决了这个无比复杂的问题，但他又说他没有地方写下任何解题过程。直到差不多300年后的今天，才有人宣称能给出这个问题完整的证明(30)。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 愤怒在累积
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起初，对比笛卡儿的好争吵，费马的姿态看起来低得多。1637年12月，他写信给梅森：“首先，我想让你确信，我继续这场小小的争端不是出于妒忌或敌意，而是为了找到真理。对于这一点，我想笛卡儿先生不会出于恶意而不相信，情况应该是这样的，恰恰我非常清楚他的卓越能力……在我开始这场讨论前，还想多说几句，我不希望这封信广为传阅，只愿在能够与之进行亲密交谈的人之间分享，我相信你会这样做。”(31)
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2月，他再次写信：“从你的信中我得知，我给笛卡儿先生的回复不大受他欢迎。实际上，他决定对我求最大值、最小值的方法和关于切线的理论进行评论，不过，他在这里会发现帕斯卡阁下和罗贝瓦尔的反对意见。对于这两件事（笛卡儿的反对意见），第一个（关于折射）并不让我奇怪，因为物理问题很容易引发怀疑并导致争议。但让我感到惊诧的是后一个（笛卡儿诋毁他的方法），因为这是几何上的一个真理，我坚信我的方法跟（欧几里得的）《几何原本》（Elements）里的第一命题一样确定。或许因为表述简单，缺乏证据，所以他们不理解。否则他们对于笛卡儿先生会太过简单。他在《几何》中，对于切线问题，已经试探了那么多的路，并选择了如此艰难的一条。”（这句话实际上不够诚实，我们在后面将会明白。）
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“关于笛卡儿先生，我将不再给你发任何东西，既然他在一个单纯的（科学）交流上设立了这么严厉的标准。我将很欣慰地告诉你，我发现在这里没有人不同意我，认为他的《折射光学》未经证明。”(32)
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他再次写信，说：“如果你愿意，我会等着笛卡儿先生对《折射光学》里出现问题的答复（这个问题我向你展示过）和对我《关于最大值、最小值和切线的论文》（Treatise on maxima and minima and on tangents）的评价。如果这里有什么深仇大恨，就像他担忧的那样……你决不应该不把它们给我看，因为我向你保证他们不会打击我的决心，这颗心决不感觉空虚。所以笛卡儿先生不能这样看低我，我也不会自贬身价。不是因为我天性随和，才撤回我已经知道的一个真理。但我想让你知道我的心情。请激励我，毫不犹豫地把他写的东西发给我，我在此提前保证：对于这些论文，我不做任何回应。”
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同一封信里，他在后面写道：“任何时候，只要你希望我和笛卡儿先生的小摩擦结束，我都会很乐意；如果你安排我和他相识，我将深表感激。”(33)
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在笛卡儿的《几何》里，他也写出了在曲线上任一点寻找该曲线法线的通用方法，对此他倍感自豪。但对他来说，不幸的是，费马的方法远比他的直接，而且更接近现代方法。除了简单的代数曲线，在笛卡儿借以获得众多荣誉的领域，费马都有迅捷得多的方法来解决其中的问题。
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