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数学恩仇录：数学家的十大论战 牛 顿
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当微积分从牛顿和莱布尼兹这样的天才人物脑中喷发而出时，没有别的东西能比它更复杂、影响更深远。费马求最大值、最小值的方法已经为通向微分的路作了一个直接的铺垫，它是微积分研究过程中一个重要的步骤。然而，像牛顿这样的智者，在这个数学分支里，他究竟怎样为其数学研究工作打下基础，没有人能确切地说出来。我们确切知道的是他广泛阅读了那个时代的数学著作。他阅读过并融会贯通、彻底演算过的书中有一本是笛卡儿的《几何》，他也研究过欧几里得几何，据说他认为欧氏几何很琐屑无聊。
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他研读过的其他作者有：硕果累累的苏格兰数学家詹姆斯·格雷戈里（James Gregory）、伽利略、牛顿在校时的亲密导师伊萨克·巴罗（Isaac Barrow）。我们有一个特别的线索：牛顿的确告诉过我们，将他引向此领域第一个发现的是对《无穷算术》（Arithmetica Infinitorum，1655）的研读，这本书是杰出的英国数学家、密码专家、传教士约翰·沃利斯（John Wallis）所写的关于解决曲线积分（求曲线下的面积）问题的著作。
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当牛顿还是剑桥大学三一学院的一个学生时，他就开始了他的数学研究工作。1665年6月，他获得了学士学位。接着，一场瘟疫使学校关闭了18个月。他的家乡在距英格兰中部诺丁汉（Nottingham）东南30英里的小镇乌尔索普（Woolsthorpe）。在那里，他坚持自学。然而，在这段时间，也许他有时短暂地回到学校，做一些阅读或者实验之类的事。
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显然，至少对于牛顿来说，他这段时间的强迫性自学是最好不过的事情了。这段日子里，从1665年到1666年，他为在光学、天体力学和数学（包括微积分）等领域的研究打下了基础。作为研究工作的一部分，他把沃利斯的成果扩展到了无穷级数。牛顿意识到很多数学方程可以用无穷级数来表达，并作了应用。在运用它们的过程中，他找到了曲线长度和切线的通用表达式以及处理求积问题（计算被曲线包围图形的面积）的方法。微积分运用者会公认这是该领域的起点(3)。
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在这一点上，一个默默无闻的25岁左右的年轻人牛顿，已经超越了他在剑桥的老师，甚至超过了当时最顶尖的数学家之一沃利斯。直到那时，数学家们一直以为运动物体的轨迹是一系列的点，而牛顿则说它应该被看作是一个持续运动的点所画的图形。他提出，既然一个朝某点运动的点的速度是路程x除以时间t，即x/t，那么如果我们把x和t都不断减少，就会发生很有趣的事。于是，一个持续并有限的运动等于无穷小路程与无穷小时间的商。他用“流”（fluent）来称这个运动的点，并用“流数”（fluxion）来称呼它的速度，这是“流”的派生词或它的变化率。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 发表还是……
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如果牛顿今天还在工作，也许他会很快地就把某些东西发表在《伦敦数学会学通报》（Bulletin of the London Mathematical Society）这类杂志上，然后，以更完整的版本发表在普林斯顿大学的《数学年鉴》（Annals of Mathematics）上。他很可能在论文的开头就感激某些数学家，正是他们的成果使他的工作得以开展。接着，他会清楚地解释他的新成果，指出他在哪里取得了突破、是怎么取得的。通过这种方式，他的首创权明明白白地建立起来了，因为先问世的成果都会发表在同行评议的期刊里。
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不幸的是，当时没有这样的期刊。这种形式的期刊发展很慢，直到19世纪中叶左右才出现。它的目的更多地是为某个发现争取首创权提供更稳固的途径，而不是在科学群体中分享这些新发现。
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1669年，牛顿确实将他的早期成果写在一本小册子里，他取名为《无穷级数分析》（Analysis with Infinite Series）（通常简称为《分析》（De Analysi）），但它只以手稿的形式在少数几个同事间传阅，包括他在剑桥的老师伊萨克·巴罗。当然，它可以在早些时候以书的形式出版——这仍然是牛顿那个时代确立首创权的方式，但因为好几个原因，他没有这样做。
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首先，在1666年的伦敦大火后，出版业出现了严重的衰退，技术类著作尤其遭殃。具有讽刺意味的是，巴罗多少该受些责备，因为出版他的著作的出版商破产了，于是书籍出版商们对出版数学著作特别谨慎。
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即使这样，要不是命运的车轮又转了另一个弯，事情也许会有完全的转机。牛顿很不合群。我们已经看到，在他23岁还是一个学生时，他的成就已经超越了当时最杰出的数学家，只有少数几个与他通信的人意识到这一点。1669年，得益于那些未发表的手稿，他被选为剑桥大学数学卢卡斯教授（Lucasian Professor of Mathematics），这使他有充足的时间和自由继续他的工作。
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他的兴趣转向其他，包括他在光和颜色里的第一批重大发现，这些也是在辉煌的17世纪60年代做出的。他一直都不愿意公开他的成果以接受外界的评论，然而他后来还是决定尝试一下。于是，在1672年，他把这些成果发表在《伦敦皇家学会哲学汇刊》（Philosophical Transactions of the Royal Society of London）的一篇论文中。虽然这篇论文广受好评，但牛顿发现，他有时得把宝贵的时间投入到应对一些对他的论点空洞的挑战上。新观点出现时，通常会有这种危险。不幸的是，有一些反对意见出自几位著名的科学家，包括荷兰物理学家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）和英国科学家罗伯特·胡克（Robert Hooke）。他发觉胡克的批评尤其麻烦和讨厌。
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结果，尽管牛顿继续光学研究，但他再没有在光学上发表论文，直到30多年后胡克去世，他才发表他在光学上的主要著作《光学》（Opticks）。他决定不向外界公开他的数学成果，很可能也是出于同样的因素。他似乎相信他的发现只属于他自己，而不属于世界和科学，甚至不属于子孙后代。他还可能是为了给自己更多时间修改他的发现，而选择深藏不露。
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无论什么原因，这是一个在以后的年头给他带来大麻烦的决定，这个决定也让数学史家们摸不着头脑。
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然而，到17世纪80年代，牛顿已经在机械力学、引力和物体的运动研究方面颇有进展，在他的朋友兼同行埃德蒙·哈雷（Edmund Halley）的强烈建议下，他决定把这些成果付梓出版。1684年至1685年，牛顿开始认真地撰写将成为他最著名作品的《自然哲学的数学原理》（Mathematical Principles of Natural Philosophy），于1687年出版。这本书简称 《原理》（Principia）为大众所知，它可能将成为科学史上最重要和最著名的著作。
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在书中，他简单地提到了新发现的微积分。他也许用这个方法解决过一些他在书中要解决的问题，然后改过来，再用传统的几何形式表达出来。他这样做也许是为了能把微积分方法保密得更久一点，但也可能是那些传统几何的方法是标准的演示和证明方法。
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在这些方法中，有一个决定性的示范：笛卡儿漩涡不能解决行星运动问题。不过，笛卡儿的权威让位于牛顿的万有引力宇宙观还需要好几十年。
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在他的《原理》出台前，牛顿与莱布尼兹不多的几次接触总的来说很恭敬、友好。但是现在，牛顿看到了一些发表的文章，这些文章如果不会立即引起他们之间关系破裂的话，在将来肯定会。不过，在我们讨论这件事情以前，我们有必要了解一下这些文章的作者。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 莱布尼兹
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莱布尼兹生于1646年，比牛顿小4岁。像牛顿一样，他读过笛卡儿的《几何》和其他数学著作，并受其影响。况且，他对数学的兴趣还因早年阅读哲学著作而受到激发。6岁时，他已经在大量阅读他父亲图书馆里的书——他父亲是莱比锡大学道德哲学教授。14岁时，他已经在传统学科各领域都很博学了。
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