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1701055467 莱布尼兹生于1646年,比牛顿小4岁。像牛顿一样,他读过笛卡儿的《几何》和其他数学著作,并受其影响。况且,他对数学的兴趣还因早年阅读哲学著作而受到激发。6岁时,他已经在大量阅读他父亲图书馆里的书——他父亲是莱比锡大学道德哲学教授。14岁时,他已经在传统学科各领域都很博学了。
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1701055469 奇怪的是,虽然出生于一个中产阶级家庭,但在同时代所有的数学家、科学家和哲学家中间,莱布尼兹是唯一一个挣扎度日的人。这种境况,再加之思维活跃,使他涉猎非常广泛。到26岁时,莱布尼兹已经设计出一台能进行加、减、乘、除,甚至求根的计算机;他还为神圣罗马帝国设计了一套法律改革的方案。莱布尼兹还向路易十四呈献了一份含有袭击埃及内容的计划,这个计划一方面可以削弱奥斯曼土耳其帝国,另一方面还可以转移德国对法国入侵的视线。这个计划没有成功。在不同时期,莱布尼兹还对宗教、哲学、文献学、经济学当然还有自然科学和数学感兴趣,他也在这些领域作出了贡献。
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1701055471 在求知方面,他和牛顿之间有很大的区别。牛顿的主要兴趣在于用数学方法解决自然科学问题。但莱布尼兹像笛卡儿一样,希望在哲学上有重大创建,认为数学可以为他开路。他想为人类的思想创造出类似字母表的系统,里面的符号可以用来代表基础的观念,这些观念可以组合起来形成更复杂的思想—— 一种理性的微积分。
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1701055473 但是,无论莱布尼兹在数学领域做了什么,这些在他多姿多彩的学术生涯中都是副业,这也使得他的成就更加让人惊诧。1673年,作为美因茨大主教的顾问,因职务使然,在执行一次外交使命中,莱布尼兹访问了伦敦。在那里,他见到了皇家学会的秘书亨利·奥登堡(Henry Oldenberg),他给后者留下了深刻的印象,以至于被推选加入皇家学会。在其他的旅行中,莱布尼兹接触了这样一些人物:惠更斯、斯宾诺莎(Spinoza)、马尔皮基(Malpighi)和伽利略杰出的学生温琴佐·维维亚尼(Vincenzo Viviani)。
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1701055475 据一位数学史家说,在莱布尼兹1673年拜访奥登堡期间(4),他有机会看到牛顿《论分析》的抄本,虽然这看起来不大可能。即使真的这样做了,他也许不懂它的意思。1676年,莱布尼兹再次因外交使命来到伦敦。这一次,他访问了牛顿的另一个同事约翰·柯林斯(John Collins)。我们确信,柯林斯给他看了一些牛顿的论文。
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1701055477 就是在这个时候,两个人有了直接的关系。可能在莱布尼兹刚开始思考微积分的问题的时候,通常被认为他不仅远远落后于牛顿,而且根本就不知道牛顿在这个领域里的成果。于是,当他1676年两次写信给牛顿时,问的都是关于无穷级数和用无穷级数求曲线所围面积的问题。牛顿非常礼貌地回了两封信,这两封信在后来发展起来的争端中起着非常重要的作用。
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1701055479 虽然牛顿的回信确实是围绕着来信所涉的微积分中的问题而谈,但他非常谨慎地把它们藏在精心设计的字谜中,有时他只是间接的提了一下这个方法,但从来不清楚地讲出来。正是他们两人所处阶段的不同将牛顿引向了麻烦,因为当莱布尼兹在大约8年后真的发表了微积分方面的论文时,牛顿不敢相信,莱布尼兹凭一己之力能如此快地取得这么大的进步。
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1701055487 尽管莱布尼兹将微积分作为推导工具的观念铭记在心,但这个观念在他的同侪间鲜有共鸣。然而,更重要的是,到那时为止,从这项成果中衍生出的数学成为一个在应用领域运用更加广泛、也更加直接的关键部分。运用牛顿的微积分,解决复杂的曲线、面积和体积问题变得更为简单。更何况,它能方便地解决以前不可能解决的变化问题,比如速度和加速度的变化、生长率和衰败率等。
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1701055489 最后,牛顿和莱布尼兹两人提出的方法,不仅仅只为少数特殊问题提供了解决方案(就像以前的方法所做的那样),而且还是运用广泛、更加通用的运算法则。它可以运用于代数的、先验的(transcendental,莱布尼兹发明的词)、理性的、非理性的各个方面。
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1701055493 在微积分发展的这些年,牛顿用了很多种符号,这在后来还引起了一些混乱。早些时候,他倾向于使用“小零”来标示时间的任意增量,比如,用0p来标示一个变量p的增量。后来,他改为更为常用的点符号,例如,用来表示x的一阶导数(如速度),表示二阶导数。
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1701055495 莱布尼兹对他的符号的选择、运用更小心,考虑也更周到。当后来人们对他们做出评价时,这就为他带来好处。对于微分,经过一些试错,他提出了非常有用的表示法:用“dx”和“dy”来表示对x和y的微分(尽可能小的差分)。对于积分方程,他提出了用“∫”来标记。对于他们两人来说,求切线需要用微分方程,计算曲线包围的面积则需要用积分。
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1701055497 接下来到17世纪80年代,莱布尼兹已经使自己成长为一个很有前途的数学家。1684年,他对微分的第一次论述发表在《博学学报》(Acta Eruditorum)上,论文名为《求极大值和极小值以及切线的新方法,对有理量和无理量都适用的,一种值得注意的演算》(A New Method for Maxima and Minima as Well as Tangents,Which Is Impeded Neither by Fractional nor by Irrational Quantities,and a Remarkable Type of Calculus for This)。在这里,我们第一次看到微分基本公式的清楚表述:
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1701055502 他和牛顿一样,认为积分不仅仅是曲线下面积的和,也是微分的逆运算。两年后,他发表了关于积分的早期成果。
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1701055504 正是莱布尼兹在1684年发表的关于微积分的第一篇论文,让我们看到了这场麻烦的第一波涟漪。牛顿不为大众所知,但在他的同行间很知名,也备受尊敬。正当他开始着力于写作《原理》时,微积分的第一篇论文就突然出现在他的面前。这是莱布尼兹写的,并没有提到牛顿的名字。
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1701055506 这不合理吗?牛顿在数学界的名声一直在他的英国同行间增长,但他还根本没有见诸书面的东西,对于大多数欧洲大陆数学家来说,他的名字鲜为人知。
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1701055508 无论如何,牛顿似乎完全无动于衷。实际上,他甚至在《原理》中承认:莱布尼兹“得出了同样的方法,并和我交流了他的方法,他的方法与我的几乎没有不同,除了在符号和产生量的观念上”(5)。
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