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数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054477]
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数学恩仇录：数学家的十大论战 莱布尼兹
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莱布尼兹生于1646年，比牛顿小4岁。像牛顿一样，他读过笛卡儿的《几何》和其他数学著作，并受其影响。况且，他对数学的兴趣还因早年阅读哲学著作而受到激发。6岁时，他已经在大量阅读他父亲图书馆里的书——他父亲是莱比锡大学道德哲学教授。14岁时，他已经在传统学科各领域都很博学了。
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奇怪的是，虽然出生于一个中产阶级家庭，但在同时代所有的数学家、科学家和哲学家中间，莱布尼兹是唯一一个挣扎度日的人。这种境况，再加之思维活跃，使他涉猎非常广泛。到26岁时，莱布尼兹已经设计出一台能进行加、减、乘、除，甚至求根的计算机；他还为神圣罗马帝国设计了一套法律改革的方案。莱布尼兹还向路易十四呈献了一份含有袭击埃及内容的计划，这个计划一方面可以削弱奥斯曼土耳其帝国，另一方面还可以转移德国对法国入侵的视线。这个计划没有成功。在不同时期，莱布尼兹还对宗教、哲学、文献学、经济学当然还有自然科学和数学感兴趣，他也在这些领域作出了贡献。
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在求知方面，他和牛顿之间有很大的区别。牛顿的主要兴趣在于用数学方法解决自然科学问题。但莱布尼兹像笛卡儿一样，希望在哲学上有重大创建，认为数学可以为他开路。他想为人类的思想创造出类似字母表的系统，里面的符号可以用来代表基础的观念，这些观念可以组合起来形成更复杂的思想—— 一种理性的微积分。
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但是，无论莱布尼兹在数学领域做了什么，这些在他多姿多彩的学术生涯中都是副业，这也使得他的成就更加让人惊诧。1673年，作为美因茨大主教的顾问，因职务使然，在执行一次外交使命中，莱布尼兹访问了伦敦。在那里，他见到了皇家学会的秘书亨利·奥登堡（Henry Oldenberg），他给后者留下了深刻的印象，以至于被推选加入皇家学会。在其他的旅行中，莱布尼兹接触了这样一些人物：惠更斯、斯宾诺莎（Spinoza）、马尔皮基（Malpighi）和伽利略杰出的学生温琴佐·维维亚尼（Vincenzo Viviani）。
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据一位数学史家说，在莱布尼兹1673年拜访奥登堡期间(4)，他有机会看到牛顿《论分析》的抄本，虽然这看起来不大可能。即使真的这样做了，他也许不懂它的意思。1676年，莱布尼兹再次因外交使命来到伦敦。这一次，他访问了牛顿的另一个同事约翰·柯林斯（John Collins）。我们确信，柯林斯给他看了一些牛顿的论文。
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就是在这个时候，两个人有了直接的关系。可能在莱布尼兹刚开始思考微积分的问题的时候，通常被认为他不仅远远落后于牛顿，而且根本就不知道牛顿在这个领域里的成果。于是，当他1676年两次写信给牛顿时，问的都是关于无穷级数和用无穷级数求曲线所围面积的问题。牛顿非常礼貌地回了两封信，这两封信在后来发展起来的争端中起着非常重要的作用。
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虽然牛顿的回信确实是围绕着来信所涉的微积分中的问题而谈，但他非常谨慎地把它们藏在精心设计的字谜中，有时他只是间接的提了一下这个方法，但从来不清楚地讲出来。正是他们两人所处阶段的不同将牛顿引向了麻烦，因为当莱布尼兹在大约8年后真的发表了微积分方面的论文时，牛顿不敢相信，莱布尼兹凭一己之力能如此快地取得这么大的进步。
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尽管莱布尼兹将微积分作为推导工具的观念铭记在心，但这个观念在他的同侪间鲜有共鸣。然而，更重要的是，到那时为止，从这项成果中衍生出的数学成为一个在应用领域运用更加广泛、也更加直接的关键部分。运用牛顿的微积分，解决复杂的曲线、面积和体积问题变得更为简单。更何况，它能方便地解决以前不可能解决的变化问题，比如速度和加速度的变化、生长率和衰败率等。
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最后，牛顿和莱布尼兹两人提出的方法，不仅仅只为少数特殊问题提供了解决方案（就像以前的方法所做的那样），而且还是运用广泛、更加通用的运算法则。它可以运用于代数的、先验的（transcendental，莱布尼兹发明的词）、理性的、非理性的各个方面。
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在微积分发展的这些年，牛顿用了很多种符号，这在后来还引起了一些混乱。早些时候，他倾向于使用“小零”来标示时间的任意增量，比如，用0p来标示一个变量p的增量。后来，他改为更为常用的点符号，例如，用来表示x的一阶导数（如速度），表示二阶导数。
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莱布尼兹对他的符号的选择、运用更小心，考虑也更周到。当后来人们对他们做出评价时，这就为他带来好处。对于微分，经过一些试错，他提出了非常有用的表示法：用“dx”和“dy”来表示对x和y的微分（尽可能小的差分）。对于积分方程，他提出了用“∫”来标记。对于他们两人来说，求切线需要用微分方程，计算曲线包围的面积则需要用积分。
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接下来到17世纪80年代，莱布尼兹已经使自己成长为一个很有前途的数学家。1684年，他对微分的第一次论述发表在《博学学报》（Acta Eruditorum）上，论文名为《求极大值和极小值以及切线的新方法，对有理量和无理量都适用的，一种值得注意的演算》（A New Method for Maxima and Minima as Well as Tangents，Which Is Impeded Neither by Fractional nor by Irrational Quantities，and a Remarkable Type of Calculus for This）。在这里，我们第一次看到微分基本公式的清楚表述：
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他和牛顿一样，认为积分不仅仅是曲线下面积的和，也是微分的逆运算。两年后，他发表了关于积分的早期成果。
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正是莱布尼兹在1684年发表的关于微积分的第一篇论文，让我们看到了这场麻烦的第一波涟漪。牛顿不为大众所知，但在他的同行间很知名，也备受尊敬。正当他开始着力于写作《原理》时，微积分的第一篇论文就突然出现在他的面前。这是莱布尼兹写的，并没有提到牛顿的名字。
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这不合理吗？牛顿在数学界的名声一直在他的英国同行间增长，但他还根本没有见诸书面的东西，对于大多数欧洲大陆数学家来说，他的名字鲜为人知。
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无论如何，牛顿似乎完全无动于衷。实际上，他甚至在《原理》中承认：莱布尼兹“得出了同样的方法，并和我交流了他的方法，他的方法与我的几乎没有不同，除了在符号和产生量的观念上”(5)。
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