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数学恩仇录：数学家的十大论战 符 号
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尽管莱布尼兹将微积分作为推导工具的观念铭记在心，但这个观念在他的同侪间鲜有共鸣。然而，更重要的是，到那时为止，从这项成果中衍生出的数学成为一个在应用领域运用更加广泛、也更加直接的关键部分。运用牛顿的微积分，解决复杂的曲线、面积和体积问题变得更为简单。更何况，它能方便地解决以前不可能解决的变化问题，比如速度和加速度的变化、生长率和衰败率等。
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最后，牛顿和莱布尼兹两人提出的方法，不仅仅只为少数特殊问题提供了解决方案（就像以前的方法所做的那样），而且还是运用广泛、更加通用的运算法则。它可以运用于代数的、先验的（transcendental，莱布尼兹发明的词）、理性的、非理性的各个方面。
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在微积分发展的这些年，牛顿用了很多种符号，这在后来还引起了一些混乱。早些时候，他倾向于使用“小零”来标示时间的任意增量，比如，用0p来标示一个变量p的增量。后来，他改为更为常用的点符号，例如，用来表示x的一阶导数（如速度），表示二阶导数。
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莱布尼兹对他的符号的选择、运用更小心，考虑也更周到。当后来人们对他们做出评价时，这就为他带来好处。对于微分，经过一些试错，他提出了非常有用的表示法：用“dx”和“dy”来表示对x和y的微分（尽可能小的差分）。对于积分方程，他提出了用“∫”来标记。对于他们两人来说，求切线需要用微分方程，计算曲线包围的面积则需要用积分。
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接下来到17世纪80年代，莱布尼兹已经使自己成长为一个很有前途的数学家。1684年，他对微分的第一次论述发表在《博学学报》（Acta Eruditorum）上，论文名为《求极大值和极小值以及切线的新方法，对有理量和无理量都适用的，一种值得注意的演算》（A New Method for Maxima and Minima as Well as Tangents，Which Is Impeded Neither by Fractional nor by Irrational Quantities，and a Remarkable Type of Calculus for This）。在这里，我们第一次看到微分基本公式的清楚表述：
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他和牛顿一样，认为积分不仅仅是曲线下面积的和，也是微分的逆运算。两年后，他发表了关于积分的早期成果。
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正是莱布尼兹在1684年发表的关于微积分的第一篇论文，让我们看到了这场麻烦的第一波涟漪。牛顿不为大众所知，但在他的同行间很知名，也备受尊敬。正当他开始着力于写作《原理》时，微积分的第一篇论文就突然出现在他的面前。这是莱布尼兹写的，并没有提到牛顿的名字。
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这不合理吗？牛顿在数学界的名声一直在他的英国同行间增长，但他还根本没有见诸书面的东西，对于大多数欧洲大陆数学家来说，他的名字鲜为人知。
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无论如何，牛顿似乎完全无动于衷。实际上，他甚至在《原理》中承认：莱布尼兹“得出了同样的方法，并和我交流了他的方法，他的方法与我的几乎没有不同，除了在符号和产生量的观念上”(5)。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 其他参与者
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一些牛顿的追随者对事态如此发展却没有丝毫乐观。例如，约翰·沃利斯认为牛顿关于流数的观念正以莱布尼兹微分学的名义传到欧洲大陆。到1692年，沃利斯把自己的成果汇编成集，他极力催促牛顿允许他收入一些关于牛顿微积分的文章。结果，沃利斯在《Works》第一卷（1695）的前言里提到牛顿的微积分，在第二卷（1693）里也有一些摘录。（日期有些不确定）
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不管怎样，牛顿和莱布尼兹本来还是可以保持良好关系的。比如，1693年3月，莱布尼兹第一次发表微积分方面的论文9年后，他写信给牛顿，竭力想恢复他们之间的通信。虽然有所拖延，但牛顿还是在10月给他回信了，他的措词依然很礼貌。当然，在两人的信中都没有任何对于剽窃的愤怒和指责对方的意味。
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不幸的是，即使除去即将影响当事双方行为的沃利斯，在两边都还有其他的参与者。
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牛顿和莱布尼兹都没有学生来继承他们的成果。但是在莱布尼兹于1684年发表他的论文后，瑞士的伯努利兄弟——约翰（Johann）和雅各布（Jacob），不仅领会了这个方法，而且还将其投入运用并传授给他人。兄弟俩还联系了莱布尼兹，并开始成为他的拥趸。在这方面，约翰特别活跃，无论是直接的还是间接的。在后一种情况下，他发起的一系列事件很有可能成为导火索，引发这场令人心碎的冲突。
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1696年6月，约翰向世界上“最精明的数学家们”发出了一个挑战：求一条连接任意两点的曲线，该两点不在一条垂直线上，沿着该曲线，一物体会在它自身的重力作用下，以最快的速度从较高点下降到较低点。他秘密地给了莱布尼兹一个副本，也送了副本给沃利斯和牛顿。这是对牛顿方法的公然挑战，然而，在后来的某个时候，牛顿也确实解决了它。牛顿通过化名的方式把他的答案送给了皇家学会。然而，当伯努利最后看到它时，他马上就猜出了作者是牛顿。他说：他从“利爪认出了狮子”。
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答案是：这是一条最速降线。其他人也已经指出过，但是该曲线也有摆线(6)这种形式，只有通过运用微积分，才好让人懂。莱布尼兹接下来做了一件蠢事。1699年，他对早些时候（1697年5月）给出并发表在《博学学报》上的解法补写一份评论，把这些解法当作他自己微积分的成功示范提出来。他也提到还有一些人解决了这个问题，包括牛顿，但暗示其他所有人都用了莱布尼兹的微积分。这样，牛顿看起来就像一个抄袭者，或者说像是莱布尼兹的一个学生。
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伯努利也认为牛顿和其他人在某种程度上得益于莱布尼兹/伯努利团队。这是麻烦的真正开始。伯努利说，除了牛顿的圆点符号，两人的微积分方法鲜有不同，既然莱布尼兹首先发表……
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牛顿和他的英国追随者都不可能对此感到高兴，但有一个追随者尤其感到恼火。尼古拉·法蒂奥·丢勒（Nicholas Fatio Duillier）是一位瑞士数学家，他搬到英国，并成为牛顿的好朋友。早些时候他与惠更斯一同工作，从1687年开始，他成为皇家学会会员。对他有各种各样的描述：杰出的数学家、冒险家、预言家、神秘家、流氓。在赋予他的冗长头衔中，丢勒认为“杰出的数学家”是一种人身侮辱。
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应该做些什么？牛顿的追随者一般会考虑做这样的事：在这么晚的时候，既然在谁先发表的问题上已经输给了莱布尼兹，最好的办法就是指出莱布尼兹在欧洲大陆的荣誉名不副实，他的表述不如牛顿的，或许甚至是从牛顿那里抄袭来的。
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