1701055723
数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054486]
1701055724
数学恩仇录：数学家的十大论战 4 伯努利vs伯努利 数学巅峰上的伯努利家族
1701055725
1701055726
伯努利家族是一个令人惊异的瑞士家族，他们家族三代人出了八位著名的数学家。
1701055727
1701055728
我们故事中的两位主角是雅各布和约翰兄弟。生于1654年的雅各布是十个孩子中的第五个。他们的父亲是一位成功的香料商人，他希望雅各布能进入政府部门。雅各布甚至还为此专门学习过一段时间，但是雅各布真正感兴趣的是数学，他通过自学来钻研数学。1676年在他22岁时，雅各布就在教其他学生数学了。1687年，他成为巴塞尔大学的一名教授。大约在这个时候，也就是莱布尼兹发表他在微积分上的第一篇论文后不久（1684年和1686年），雅各布就已经投身其中做微积分研究了。1690年，莱布尼兹经常这样评价他：“（莱布尼兹的）微积分的思路还只有少数人懂得，我还没听说比这个著名的人（雅各布）更懂我意思的人。”(1)
1701055729
1701055730
约翰是伯努利家的第十个孩子，他生于1667年，比雅各布要小十二岁半。让他父亲沮丧的是，事实表明他不适合从商。1685年，约翰开始学医，甚至拿到了医学学位，但是和雅各布一样，他的心在数学上。可能是在1687年，约翰开始私下里跟哥哥雅各布学习数学。大约过了两年，他的水平已经和哥哥差不多了。他们两位是首先认识到微积分的重要性，并将其投入运用，并向世界宣传它的意义的数学家。
1701055731
1701055732
1691年，约翰向纪尧姆·弗朗西斯·罗必塔（Guillaume Francois L’Hospital）传授新数学知识。遵照约翰的课程计划，罗必塔坚持下来，写出了第一本微积分的系统教科书《无穷小分析》（Analyse des infiniment petits，1696）。约翰还教过莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）数学，后者成长为18世纪的数学巨人。事实上，那个时代大约有六位最主要的数学家，他们差不多都是伯努利两兄弟之一的学生。一个有趣的巧合是，约翰有一个学生名叫J·C·法蒂奥·德·丢勒（J. C. Fatio de Duillier），他的哥哥在牛顿—莱布尼兹争端中扮演了重要的角色，正如我们在上一章看到的那样。
1701055733
1701055734
对我们的故事更重要的是，约翰教授数学给自己的两个儿子丹尼尔（Daniel）和尼古拉（Nicholas），他们俩都成为非常受人尊敬的数学家。实际上，这个传统仍在继续：约翰的第三个儿子也成为一名数学教授，后来，这个儿子的两个儿子也在自然科学和数学界很活跃。今天，有六个数学方程、定理和函数都以伯努利命名。
1701055735
1701055736
我们很容易以为伯努利家是一个伟大而快乐的家庭，两兄弟也特别满意他们的成就和教学生涯。
1701055737
1701055738
但是，事实完全不是这样的。虽然雅各布和约翰都成功而忙碌，且几乎不间断地与莱布尼兹及其他数学家保持着交流，他们兄弟之间也保持沟通，但他们也抓住一切机会互相挑战、争论、诽谤。这是一个闹得极大的手足相争，因为雅各布一直都不能接受这样的事实：比他年轻得多的弟弟跟他旗鼓相当，在某种程度上，甚至还超过了他。而约翰呢？！——好了，我们马上就会看到，对于雅各布兄长的地位，弟弟约翰做出了怎样的反应。
1701055739
1701055740
1701055741
1701055742
1701055743
数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054487]
1701055744
数学恩仇录：数学家的十大论战 一些背景
1701055745
1701055746
到17世纪90年代初，雅各布已经在使积分规范化方面做了很多工作，比莱布尼兹本人做的还多，因为莱布尼兹忙于处理个人问题，没有给这个学科制定通用的规则。与此同时，约翰对数学的钻研更加精深了。于是，通过相互激励的奇怪方式，两兄弟用新数学作为工具解决了困扰数学家们多年，甚至几个世纪的问题。
1701055747
1701055748
约在1659年时，荷兰数学家和物理学家克里斯蒂安·惠更斯（1629—1695）寻求找到这样一条曲线：沿着曲线，一个物体在重力的作用下，从曲线上的任一点开始下降，都会花同样的时间到达曲线底部。他用几何方法显示该曲线是一条摆线，于是，惠更斯运用这个观念设计了一个走时准确的摆钟。这种设计有时被称为等时线或等时曲线。伽利略在早些时候提出过用钟摆制作时钟的观点，莱布尼兹在这个问题上也做过一些数学方面的基础工作。
1701055749
1701055750
1690年，在微积分的基础上，雅各布在《博学学报》上发表了他对等时问题的分析。通过对这种下降速度不变的曲线建立微分方程，他解决了这个问题。他向大家展示，这种曲线是摆线。大体上，他运用分析的方法证明了惠更斯的结论。这篇论文之所以重要还有一个原因：积分（integral）这个重要的微积分术语第一次出现了。
1701055751
1701055752
在等时问题上的成功，雅各布倍感自豪，他在这篇论文里接着提出了一个相关的问题：在高度相同的固定两点之间悬挂一条易弯曲但没有弹性的线，求所得曲线的形状。对这个问题的推算至少可以追溯到15世纪的莱昂纳多·达·芬奇。伽利略考虑过这个问题，并猜测该曲线是抛物线。
1701055753
1701055754
1701055755
1701055756
1701055757
数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054488]
1701055758
数学恩仇录：数学家的十大论战 小弟弟
1701055759
1701055760
雅各布发表论文后13个月，1691年6月的《博学学报》上出现了好几种关于该问题的解法。答案是一种被称为悬链线的曲线，它们的作者是莱布尼兹、惠更斯——还有约翰。前面有一段引自雅各布的引文，他称之为“Additamentum ad Problema Funicularium”。文中，他声称在弟弟给出该问题的答案后，他进一步研究了该问题的一些变化形式，如绳子厚度和重量不均时的情况，这些问题他都解决了(2)。我们将会看到，雅各布的引文对原问题不是一个严格的解答，该引文有几种不同的解释。
1701055761
1701055762
约翰强调他能够解决这个悬链线问题，而他的哥哥——也是他的老师——却不能。这是1691年的事。大约27年后的1718年，约翰在给他的同行兼朋友皮埃尔·雷蒙德·德·蒙莫尔（Pierre Remond de Montmort）的一封信中，道出了后来他和哥哥的关系状况。信中谈到他13年前死去的哥哥，用语轻蔑。从这里，我们能看到他们兄弟之间因永无休止的竞争而导致的紧张关系。很显然，蒙莫尔先生之前一直以为雅各布解决了悬链线问题，但约翰不以为然。他写道：
1701055763
1701055764
我哥哥的努力没有结果。而我却幸运得多，因为我找到了（我这样说不是吹嘘——我为什么要隐瞒真相呢？）完全解决它的技巧，并把它简化为只是对抛物线做出一些修正。的确，我花了整整一晚上来钻研它而没有休息片刻……但在第二天早上，我满怀喜悦，跑到我哥哥那里去，他还在痛苦地思索如何解开这个戈尔蒂之结。他茫无头绪，老是像伽利略那样认为悬链线是一种抛物线。打住！打住！我对他说，不要再用试图证明悬链线是抛物线来折磨你自己了，因为这完全错了……这两条曲线完全不同，一条是代数的，另一条是超越的……但是，后来你（蒙莫尔）断定我哥哥找到了解决这个问题的方法，这让我很吃惊……我问你，你真的这样认为？如果我哥哥解决了这个问题，他会很乐意帮助我，使我不和惠更斯先生及莱布尼兹先生一起出现在解决者的名单中——这样做使我放弃了以首先解决者的身份单独出现在舞台上的荣誉(3)。
1701055765
1701055766
约翰实际上已经看到了两种解决方法间的重要不同之处。
1701055767
1701055768
对于抛物线，在笛卡儿坐标系中标准方程最简单的形式是
1701055769
1701055770
1701055771
1701055772