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数学恩仇录：数学家的十大论战 战 线
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1697年，约翰提出了一个解法，并宣布应该获得奖金。然而，他没有考虑到等周形问题的变更形式，因此只提供了一个不完整的解法，所得的微分方程少了一阶。雅各布见此很高兴，把他的弟弟无情地批评了一番。
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E·A·费尔曼（E. A. Fellman）和J·Q·弗莱肯斯坦（J. Q. Fleckenstein）在《科学传记辞典》（Dictionary of Scientific Biography）中写道：“这是两兄弟疏远并公开不合的开始，也是变分法的诞生之时。”(30)（但这是变分法诞生的另一种方式）
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约翰对雅各布等周形问题的分析，在1701年2月通过法国数学家皮埃尔·伐里农（Pierre Varignon）递交给巴黎科学院。1701年5月，雅各布把他的解法寄给《博学学报》。后人将他的解法与约翰的解法相对比，清楚地表明雅各布的解法更胜一筹。不幸的是，对这个特别的胜利，雅各布却不能为之狂喜。约翰的解法装进了一个密封的信件里，不知什么原因，这封信直到1706年4月才被打开，而这时雅各布死了差不多一年时间。
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这是因为甚至在那时约翰就意识到了这个真理吗？他从来没有承认是这样。很久以后——他哥哥已去世，他吸收了布鲁克·泰勒（Brook Taylor）的成果（《增量法》，1715年）——他提出了一个针对等周形问题的巧妙解法。1718年提出的这个方法包含了一些变分法的现代观念，欧拉和拉格朗日将会继续发展这些观念。但是，很奇怪的是，这个解法让人想起了雅各布的解法和风格(31)。
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这项荣誉应该归于约翰吗？也许更确切的说法是：由于他们极度好争论，两人都有贡献，这贡献可能是雅各布最初的解法引起的。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 一直到死
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1705年，雅各布死了，这使两兄弟之间奇怪的关系产生了新情况。雅各布的众多兴趣中，有一个课题是概率。从1684年到1690年，他在这上面花费了大量精力。虽然两兄弟大部分的数学成果都发表在杂志上，特别是在《博学学报》上，但是雅各布在他生命的最后两年，致力于一本概率论课本的撰写。这本书就是《猜想的艺术》（Ars Conjectandi，The Art of Conjecture）。
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这本书包含了组合和排列的基本原理：人们常说的弱大数定律，也以伯努利定理为人所知。今天它已被当作概率论中一个主要的工具。这本书还包括很多其他内容。这是他最重要的专著，也是第一本关于概率的有重要影响的著作。今天，只要用到统计方法的地方，如保险、天气预测、人口采样，都会用到这本书的知识。
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这本书分成四个部分，第二部分是关于组合和排列的，他以此做二项式定理指数为正整数时的例证。这一部分还有一张公式和前n个整数r次幂之和的表。运用这张人称伯努利数的表，可以计算出前1000个整数的10次幂的和。接着，雅各布向人们展示他的杰作，并写道：
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在这张表格的帮助下，我花了不到一刻钟的时间就求出了前1000个数10次幂的和。它的值是：
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91，409，924，241，424，243，424，241，924，242，500
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从这里，我们很清楚地看到，伊斯梅尔·布利奥（Ismael Bullialdus）在编辑其卷帙浩繁的《无穷算数》（Arithmetica infinitorum）上的努力是多么的无 益。书中，他除了费尽心力计算前n个数的6次幂外，什么都没做，而这仅仅只是我们在一页纸上就能做好的工作的一部分(32)。
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雅各布死时，这份手稿接近完成。但即使他死后，两兄弟之间的仇恨仍没有消减。这项成果在约翰的监督下发表，看上去理所当然。雅各布的遗孀根本就反对这个想法，她担心那位报复心重的弟弟会利用这个机会损害甚至彻底破坏这项事业。约翰的大儿子尼古拉（Nicholas）在和雅各布一起做研究时读过这份手稿，本着忠诚的家族精神，在雅各布死后，他在他的论文里引用过它，也在其他地方引用过。当这份手稿在1713年最终出版时，尼古拉写了一篇简短的前言。在承认他太年轻，缺乏经验为这份手稿的出版做得更多之后，他说他建议出版商将它公之于众，尽管作者已经离开了这个世界。这本书后来成为雅各布取得崇高声誉的核心著作。
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雅各布似乎预见自己会早死，至少他担心过。在他的研究过程中，他钻研过吸引人的等角螺线问题。这是一种可以在海贝和蜘蛛网上看到的曲线。它和圆有些相似，但有一个主要的区别。圆与它的半径相交成直角，而等角螺线虽然也与它的半径相交成一定角度，但这个角不是90度。有某种神秘心理倾向的雅各布，被这种在很多种数学变换中一再出现的曲线所吸引。他请求别人把这种曲线和碑铭“纵使改变，依然故我”（Eadem mutate resurgo）一起刻在他的墓碑上。1705年雅各布去世时，他还很年轻，只有51岁。至死他都一直把持着巴塞尔大学的数学讲座教授的席位。他的席位现在空出来了，提供给了约翰，而这是约翰非常乐于接受的。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 约翰继续前行
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雅各布走了，好争论的约翰似乎得找其他人交战了。作为一个健康、精力充沛的人，他还有长达43年的时间去继续研究、争论、交战。比如，罗必塔的《微积分》课本在1696年出版了。开始时约翰似乎对此事很高兴。收到一份从罗必塔那里送来的副本后，他回信感谢书中提及自己。他甚至答应，如果他也出版了这样一本书，也会用同样的方式向罗必塔致敬。罗必塔居然建议，顺其自然地继《微积分》之后再出版一本专论积分的教科书，既然莱布尼兹似乎不愿意在这些事上下工夫。但是，伯努利回复说，他被一些国内的事物所纠缠，心情很不好。对这些事，我们下面马上就会谈到。
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这就是伯努利最初的反应。但是这本书将欧洲大陆数学家引入了一个激动人心的新领域。它越来越成功，约翰的忌妒和恼怒也与之俱增。在雅各布去世后的那几年，他对境遇充满抱怨。他连书带作者一并攻击，根本就是在指控罗必塔剽窃。罗必塔已经在前言中对约翰的贡献表示了感谢，他写道：“伯努利兄弟提出了很多睿智的观点，我要向他们致敬，特别是现在的格罗宁根大学教授小伯努利先生。”(33)但现在约翰认为这样的承认还不够，他竭尽所能想告诉世界谁才是真正的作者。但人们对他的呼吁似乎无动于衷。
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例如，书中第九部分提出的“一些问题的解法……”，包括了我们现在称作的不定型。尽管它主要是通过几何形式表达的，但它的结论在后来被称作罗必塔法则（L’Hospital’s rule）——求不定型值的一种数学方法。约翰对此极其恼怒，他认为罗必塔应该在书中清楚地写明这是他的成果，而不是罗必塔的。但是，公正地说，事实上罗必塔从来都没有说这是他的创造。命运难料的是这本书的广泛应用，才导致这个结论如此命名——不是他，而是别人啊！
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罗必塔不再为自己辩护了。1704年，他死了。不过，这只会让约翰走得更远。在约翰漫长的一生（他死于1748年，享年81岁），罗必塔的《分析》一直是高等数学的标准教材，甚至用得更长久。后人比较了约翰的讲课笔记和罗必塔的书，表明他们之间在根本上是一致的，尽管很多笔记上的错误没有出现在书中。由此可以看出，罗必塔或者另有其人对约翰的讲稿做了一些卓有成效的修订工作。
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按照学者杰拉德·希克斯马（Gerard Sierksma）的说法，约翰与罗必塔达成的有偿协议意味着约翰已经将他的发现卖给了罗必塔，于是约翰不能发表他自己的作品，至少在一段时间内不能(34)。这也可以用来解释约翰的不快。
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