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数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054507]
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数学恩仇录：数学家的十大论战 无穷集合论
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自从古希腊以来，哲学家、神学家和数学家就已经开始努力摸索无穷这个观念和它的诸多寓意。例如，伽利略在他经典的《关于两门新科学的对话》（Dialogues Concerning Two New Sciences）中认为，很有必要指出平方数和自然数一样多，如他所说：因为“每一个平方数都有它的根，每一个根都有他的平方数，但没有哪一个平方数不止一个根，也没有哪个根不止一个平方数。”(13)
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换句话说，如果我们考虑到正整数这个类别或集合，我们得到一个很大、没有边界的数集——（就它本身来说）一个超越人们理解的数集。然而，知觉上它应该存在。那么，考虑到伽利略的说法，我们也得到一个平方数的集合，其中每一个数都是一个正整数的平方。伽利略说，有多少个自然数就有多少个平方数。但伽利略也知道有些整数不是平方数，比如2、3、5、7等等。平方数怎么就比自然数少了呢？伽利略把这仅仅看成是一个难解之谜、一个矛盾，就把它扔在一边，谈别的事去了。
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康托尔继续钻研这个问题。他从理查德·戴德金提出的一个观点出发，后者是他早期的崇拜者之一。1872年，戴德金定义：如果一个集合包含一个与它的元素一一对应的元素所组成的子集，那么这个集合是无穷的。例如，如果我们列出所有的自然数，即：1，2，3，…，n，… ，我们可以很容易把它们直接一一对应的平方数1，4，9，…，n2，…，得到的集合放进这个自然数集合里。康托尔从这里突飞猛进了。他说：这个全集（1，2，3，…，n，…）和子集（1，4，9，…，n2，…）都是“可数的无穷”，或者说是“可数的”。
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他说，这种“可数的无穷”集有相同的“势”。为了表示这个势的级别，他用了希伯来字母表的第一个字母阿列夫（aleph）和下标0，将这个术语读作阿列夫零（）。
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换句话说，自然数集N可以包含一个与它的元素一一对应（同势）的子集。因此整个集合与它的部分相等。当然，这与人们长期信奉的欧几里得的公理“整体大于部分”是直接相悖的。
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现在康托尔脑子转得飞快，他开始创造出一种新的数学。例如，他向我们展示，如果我们把所有整数（阿列夫零）和所有整数的平方数（也是阿列夫零）加起来，结果仍然是阿列夫零！
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而且，同样有
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依此类推。对于一些人来说，也许这看起来仅仅是一个游戏。康托尔则认为这意味着需要一门新的数学，而这也是这门数学的开端。
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他选择阿列夫符号是既聪明又恰当的做法。他主要是这样认为的：古希腊和罗马字母已经在数学和科学中被广泛运用，而他的数学值得用一个独特的符号。但直到19世纪90年代，他认识到需要用一个标准化符号，才正式引入它。在这之前，他试着用了不同的符号。我们在这里用阿列夫简化了说明步骤。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054508]
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数学恩仇录：数学家的十大论战 集合论诞生了
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19世纪70年代和80年代是集合论发展的时期。1872年，戴德金已经在一一对应的无穷集和子集上做了一些工作。康托尔继续钻研下一个逻辑问题：有不可数的无穷吗？就是说，有规模不一样的无穷吗？他通过再次审视数的集合来开展这项研究。他清楚有理数集可以一一对应于自然数集，代数数(14)集也可以这样。
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这样能得出实数集(15)吗？他花了些功夫，但在1873年年底，他写信给戴德金说，他已经成功地证明了实数集不能与自然数集一一对应(16)。它是“不可数的无穷”。康托尔给这种集合取名“连续统”，用符号c表示。这一刻，集合论诞生了，不同规模集合的观念形成了！
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通过这个证明，他展示了实数的次序比自然数高。他明白他必须发表这个结论。他也明白很多数学家都对他的成果持有很大保留意见。在这篇论文中，他将既解决无理数问题，又解决无穷的规模问题。他希望论文发表在《克列尔杂志》上。不幸的是，克罗内克作为那儿的编辑，有权拒绝任何论文。克罗内克也已经流露过对康托尔研究方向的不满。更何况，克罗内克的观点，包括他对无理数的认识，在数学界广为人知。如果其他数学家看到一篇清楚陈述康托尔新成果的论文，仅仅是为了讨好克罗内克，他们也会坚决表示反对意见的。
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康托尔决定耍个心眼。他认为，业内的很多人，包括克罗内克，很可能是仅仅扫一下这篇论文的题目，看是否有什么值得反对的东西在里面。他给他的论文取名为《关于所有实代数数集合的性质》（On a Propery of the Collection of All Real Algebraic Numbers）。因此，从这个题目来看，它仅仅像是对约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）一个早期定理的证明。这个定理说的是：非代数实数确实存在。表面上看来，他似乎只是写代数数方面的问题。这个策略成功了。1874年，这篇论文蒙混过关，发表在《克列尔杂志》上了。集合论崭露头角——但它不得不藏在一篇看起来说的是别的主题的论文里。
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但是，现在麻烦要来了。从这时开始，康托尔清楚，克罗内克会更加提防他的。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054509]
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数学恩仇录：数学家的十大论战 冲突开始了
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