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数学恩仇录：数学家的十大论战 集合论诞生了
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19世纪70年代和80年代是集合论发展的时期。1872年，戴德金已经在一一对应的无穷集和子集上做了一些工作。康托尔继续钻研下一个逻辑问题：有不可数的无穷吗？就是说，有规模不一样的无穷吗？他通过再次审视数的集合来开展这项研究。他清楚有理数集可以一一对应于自然数集，代数数(14)集也可以这样。
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这样能得出实数集(15)吗？他花了些功夫，但在1873年年底，他写信给戴德金说，他已经成功地证明了实数集不能与自然数集一一对应(16)。它是“不可数的无穷”。康托尔给这种集合取名“连续统”，用符号c表示。这一刻，集合论诞生了，不同规模集合的观念形成了！
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通过这个证明，他展示了实数的次序比自然数高。他明白他必须发表这个结论。他也明白很多数学家都对他的成果持有很大保留意见。在这篇论文中，他将既解决无理数问题，又解决无穷的规模问题。他希望论文发表在《克列尔杂志》上。不幸的是，克罗内克作为那儿的编辑，有权拒绝任何论文。克罗内克也已经流露过对康托尔研究方向的不满。更何况，克罗内克的观点，包括他对无理数的认识，在数学界广为人知。如果其他数学家看到一篇清楚陈述康托尔新成果的论文，仅仅是为了讨好克罗内克，他们也会坚决表示反对意见的。
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康托尔决定耍个心眼。他认为，业内的很多人，包括克罗内克，很可能是仅仅扫一下这篇论文的题目，看是否有什么值得反对的东西在里面。他给他的论文取名为《关于所有实代数数集合的性质》（On a Propery of the Collection of All Real Algebraic Numbers）。因此，从这个题目来看，它仅仅像是对约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）一个早期定理的证明。这个定理说的是：非代数实数确实存在。表面上看来，他似乎只是写代数数方面的问题。这个策略成功了。1874年，这篇论文蒙混过关，发表在《克列尔杂志》上了。集合论崭露头角——但它不得不藏在一篇看起来说的是别的主题的论文里。
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但是，现在麻烦要来了。从这时开始，康托尔清楚，克罗内克会更加提防他的。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 冲突开始了
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事情平静了一段时间，康托尔继续准备迎接下一个挑战。1877年，他发现甚至他自己也忽略了无穷的一个性质。在1874年给戴德金的一封信中，他提出了下面的问题：一个平面（比如一个包含边界的正方形）能和一条线（比如一条包含两个端点的直线段）一一对应吗？这样，对于平面上的每个点，在线上都有一个对应点；反过来，对于线上的每个点，平面上都有一个点与之对应。我认为解答这个问题不是一件容易的事，尽管事实上看起来，答案似乎很明显是“不能”，证明它显得几乎没有必要(17)。
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这个故事第一个值得注意的地方是：康托尔应该提出了这样一个问题。第二个值得注意的地方是：3年后他再次写信给戴德金说，他已经阐释了这个问题的答案，是“能”。概括一下，他说n维连续空间可以与一条线上的点集一一对应（具有相同的势）。他写下“我看出了这一点，但我不敢相信。”(18)他的证明有点笨拙，但非常正确。
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戴德金对康托尔的新发现表示祝贺，但提醒他将其发表会很难。他说对了。1877年7月12日，康托尔将阐释这个发现的论文送给《克列尔杂志》。尽管这些发现——所有连续的直线、平面或曲面都是相同等级的无穷——颇有争议，但杂志的编辑答应发表它，魏尔斯特拉斯也承诺在论文面世后宣传它。
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然而随着时间的流逝，很显然杂志社方面没有采取任何行动去促成论文的发表。康托尔怀疑克罗内克在幕后搞鬼，阻挠论文的刊载。他越来越不安，写信给戴德金说他考虑收回这篇论文，尽力在别的地方发表它——尽管《克列尔杂志》以前发表过他的成果。戴德金说服他再等一段时间看，或许他对杂志施加了某些影响。无论如何，这篇有时被称作康托尔的《稿子》（Beitrag）的重要论文，最后确实在第二年进入了公众的视野。
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尽管杂志发表了他的论文，但时间拖得这么长，克罗内克竟能施展阴谋到如此程度，康托尔还是感到很不安。
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克罗内克的阻挠行为背后有部分动力纯粹是出于数学目的，他只是实实在在地不同意康托尔的数学观点，理解这一点很重要。克罗内克认为康托尔在玩弄一些不合逻辑的观念，不应该允许他发表这些没有结果的想法。克罗内克不是第一次这样做，他曾经阻挠过其他关于无理数和无穷的论文的发表。况且，康托尔的证明建立在无理数和实数一一对应的关系上，而对于克罗内克来说，无理数纯粹就不存在。
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可是康托尔的论文最后确实发表了，而且发表在《克列尔杂志》上，这使他成为备受尊敬的人。尽管每个人都很不赞成他的理论，但很明显他正在成为一名革命性的思想者。如果他的感觉和信念是对的，那么他正在创立一门全新的数学，显而易见他是这门新数学的大师。他开始越来越感觉到孤独，对推动世界的无能为力也让他越来越不开心。他无比渴望能成为德国一个重要大学——或者是哥廷根大学，或者最好是柏林大学——的教师。他还认为对比诸如施瓦茨、L·富克斯（L. Fuchs），特别是克罗内克这些名师，他的工资低得太多。实际上，他曾经申请过柏林大学的教职，但魏尔斯特拉斯告诉他：他的申请被拒绝和克罗内克的高薪有关。
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康托尔对此很是不快，但他怀疑此事另有蹊跷。他是对的。看到自己实在不能阻挠康托尔发表论文，克罗内克煞费苦心地抨击康托尔和他的成果。其中一个手段是提出——尽管这些主张从来没有见诸报刊——不仅康托尔的成果是个骗局，他本人也是一个冒充内行的“牛皮匠”和一个带坏青年的“教唆者”，他在诱惑这帮年轻人进入一个“数学疯狂的危险世界”(19)。无论如何，在这场微妙的战争中，克罗内克的权威使他取的绰号成为打击康托尔的有力的武器。
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照著名的数学史家莫里斯·克莱因的说法，克罗内克的抨击的的确确让数学家们怀疑康托尔的成果(20)，康托尔没有被邀请去一个更有名望的大学任教，这很可能是个原因。康托尔全部的研究生涯都在哈勒大学度过。然而需要指出的是，哈勒校方对待康托尔很慷慨，在他需要的时候，他们就可以暂时不安排他上课。
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像克罗内克一样，康托尔认为他们的冲突在某种程度上是一场关于谁的数学观点正确的战斗。即使在这个表面看来不涉情感的角斗场，他也相信最终的结果并不取决于对真理的纯粹求索。他把它看成是“一个有关能力的问题，这种问题永远不取决于说理；克罗内克或我，谁的观点最有能力、最有包容性、最能结出硕果，这才是问题所在。唯有经历岁月的证明才能够决定我们之间争斗的成败！”(21)
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与此同时，在克罗内克进行他的抨击时，康托尔也没有闲着。比如，在申请柏林大学的教职被拒后，他写了一封信，直接寄给柏林的教育部长，抱怨这些抨击。然后在1884年早些时候，他写信给米塔格-列夫勒说：“我从来没想过……我会真正地回到柏林大学，但我还是打算努力争取。当了解到施瓦茨和克罗内克狠毒地密谋攻击我之后，考虑到这会阻碍我回到柏林大学，我认为我必须采取主动，并亲自向部长大人求助。我清楚地知道这样做即刻就会产生的效果：克罗内克肯定会怒火中烧，就像被蝎子蜇了一样，他的后援团也会发出狂嚎，柏林大学的人会以为他们处在非洲沙漠中，四周到处都是狮子、老虎和鬣狗。”(22)
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当然，康托尔是对的，克罗内克确实有所反应。但如果康托尔以为会有人发出狂嚎，那他就错了。克罗内克再一次在幕后行动，没有愤怒的吼叫，有的是很微妙的小动作。他可能隐约意识到了康托尔的神经里潜伏着某种不稳定的因素，这看起来很有可能，于是他谋划该做些什么事，使康托尔的问题变严重。1884年1月，克罗内克联系了米塔格-列夫勒，提出他要在《数学学报》上刊登一篇短文，以此说明“现代方程理论和集合论的成果都是没有实际意义的”。(23)
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康托尔听说了这件事，很显然他认为，克罗内克正设法使他失去一个发表论文的主要出路，就像过去克罗内克竭力反对《克列尔杂志》发表他先前的论文一样。而这份杂志现在仍有欢迎他且富有同情心的编辑。康托尔认为克罗内克要登载在《数学学报》上的文章将惹起争端，他威胁说，如果米塔格-列夫勒接受了这篇文章，他以后就不再把自己的论文投给这份杂志。迫于他在这个领域日显重要，这个威胁起了些作用。但克罗内克一直都没有投来什么文章，也许他只是想刺激康托尔一下，使他做出某些不冷静或者令人不快的事来。正如事后所见的那样，康托尔后来“兑现”了他的威胁——因为别的原因，他断绝了与这份杂志的所有联系。不过正如克罗内克所希望的，毫无疑问康托尔的过激反应损害了他和一个重要支持者的关系。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 后来的康托尔
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