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数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054510]
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数学恩仇录：数学家的十大论战 后来的康托尔
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然而，这些事都没有阻止康托尔继续源源不绝地创造出新的数学思想。1879年，康托尔开始了一些新的研究，从1879年到1884年，他发表了6篇系列论文，推动了这个课题的发展。康托尔回到先前困扰过他的一个问题。早些时候，他发现了可数无穷（阿列夫零）和不可数无穷，比如实数，他暂时命名为c。但他有些困惑：有集合在规模上处于aleph 0和c之间吗？
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他相信答案是否定的，并希望证明它——在他的算术里，aleph 0和c就像整数中的0和1。后者是我们的数字系统中开始的两个整数，在它们之间没有其他的整数。如果集合论里适用相同的情况，那么c会跟aleph 1相等，他定义其为aleph 0之后下一个级别（或水平）的无穷，于是从这里开始，他可以建立起以aleph为基础的数字系统。
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有几种方法可用来表述他所称的连续统的假设。简单的表示是
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他认为这是对的，但必须证明它。
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在6篇系列论文中的第五篇，展现了他对自己在数学世界的地位的复杂感情。他写道：“这篇论文的发表，不仅大胆地表达了我的愿望，也表达了我坚定的信念：会有这么一天，人们将认为普及这种观念是很平常、很合适、很自然的一步。我依然很清楚地认识到：采取这一步，对当前关于数学中无穷的普遍看法，以及对当前数的本质观念来说，我是在和它们作对。”(24)
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在他的生活和学术生涯的平衡上，康托尔几乎一直都在跟连续统假设作斗争。在这项工作过程中，他经常写信给米塔格-列夫勒，说他已经有了答案；接着他又写信，撤回他的证明，并宣称连续统假设是不对的。这样的事反复发生。他坚持去尝试解决这个问题，这成了他生活的全部。在第六篇论文里，他说答案就要出现了。
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看起来似乎是他缺乏某些数学技巧，但实际上不是这样。他不知道他正竭力解决的问题是没有答案的。这就是说，在康托尔所处的那个年代，在数学体系中，连续统假设是没有答案的。这一点，我们在后面的章节里将会看到。
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今天得到这个答案，改天得到另一个答案，这种令人发疯的经历使他付出了沉重的代价。他对这个问题的投入，加上来自同行（特别是克罗内克）的、他视之为不公平甚至是报复性的待遇，极大地影响了他的精神状态。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054511]
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数学恩仇录：数学家的十大论战 发疯的时候
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早些时候关于康托尔生活的传记把这些行为——他对连续统假设的投入和来自克罗内克的攻击——视为使康托尔发疯的主要原因。其实他还有其他的挫折。1881年，哈勒大学海涅讲席有了一个空缺，康托尔设法安排当时在中学教书的戴德金去争取。很显然，康托尔想借此既得到友谊又能得到一些学术上的相互促进。况且，如果能把戴德金请来，哈勒大学本身也会成为一个重要的数学中心。1882年早些时候，戴德金拒绝了这份邀请，这无疑反映出了他对康托尔的性格有一些担忧。康托尔接下来推荐了另两个人，也都被拒绝了。他又推荐了一个人，但这个新来的人和康托尔一直没有形成紧密的关系。
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康托尔的晚年确实不时地在一个神经医疗机构里度过。1884年5月，在他41岁时，他第一次精神崩溃了，他一生余下的33年多，很多次都遭受这种严重折磨。他进入了哈勒大学神经诊所进行治疗。这是学校建立的一个神经诊所，在那里他住了一个多月。
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我们再一次听一听贝尔引人入胜的描述。写到年轻的康托尔，他说：“格奥尔格决心成为一个数学家，但他务实的父亲……固执地试图让他去学工程，因为这更有希望谋到一个能过上好日子的职业……年轻的康托尔诚挚地爱着他的父亲并有着深厚的宗教情怀，他没有意识到这个老人只是把自己对金钱的贪念强加到他的身上。这是对格奥尔格·康托尔超级敏感的神经的第一次扭曲。”同时，“在违背自己的根本意愿而竭力去迎合他父亲的过程中，格奥尔格·康托尔播下了不自信的种子，这使得他在后来遭受克罗内克恶毒攻击时很容易受伤害，也让他对自己研究工作的价值表示怀疑……他的父亲妥协了，但这时伤害已经造成了。”(25)这真是一个精彩的想像，但根本就不真实。实际上，格奥尔格的父亲看起来是一个意志坚定、通情达理的家长，他对格奥尔格和他的职业怀着真诚的关爱。
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后来的作家认为康托尔实际上是一种双极性情感疾病（躁郁症）的患者。他在数学上所遭遇的挫折以及艰难的人际关系，特别是与克罗内克的关系，很可能在他的精神疾病影响下被夸大了，但这不是引起他精神疾病的原因。据可靠证据，我们还掌握了这样的事实：“对于他感觉到的来自他（大学）同事的迫害”，他不时显示出“一种无疑的夸大感觉。”(26)
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第一次从精神诊所出来后，某些事使他认为他还是可以解决与克罗内克的矛盾的。在他出来后，他也确实联系过克罗内克，试图与后者和解。克罗内克不带怨恨地回复了他。在第二封信里，康托尔竭力对他正在做的研究做进一步详细的解释。在信中，他措词尽量委婉地写道：“我认为，我在最近几年所做的最主要科学工作（我把它们都归在集合论这个大题目下），与在你看起来很确定的‘实在’数学中的要求并不是很冲突。也许表述有错误（也许不够完备、清楚），相比我研究的其他方面，也就是哲学方面的内容，我的研究中实在的数学方面你关注得比较少。”(27)
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1884年10月，他们甚至聚会了一次，在一起谈了一个晚上。但他们之间的分歧太大了，这次会面效果甚微。后来，康托尔在一封给米塔格-列夫勒的信中描述这次会面说：“因为我研究工作的成功，他（克罗内克）和他的先入之见从攻势转为守势，对我来说，这不是小事。正如他告诉我的，他想很快就发表他关于算术和函数理论方面的观点。我祝他好运！”(28)
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克罗内克对康托尔的真实感情如何？1885年，在给米塔格-列夫勒的信中，索菲娅·柯瓦列夫斯基（Sophie Kowalevsky）说，克罗内克“很恨康托尔”。(29)
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1885年，康托尔遭受了又一个打击。这一次是来自他自己的朋友和支持者米塔格-列夫勒。这一年的早些时候，康托尔寄了两封说明他最新工作的信给《数学学报》以供发表。3月，米塔格-列夫勒回信说，鉴于这两封信没有对任何有意义的结论作出证明，在康托尔能够解释这些结论前发表这些东西会损害他的名誉。米塔格-列夫勒认为，相对于当时的数学发展水平来说，发表这些东西早了大约100年！——如果现在就发表，没有人会懂它，它背后的理论在100年后的将会被人再次发现，人们也许会认同他。
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事情发生这种转折，对康托尔打击很大。米塔格-列夫勒试图做一件好事，但这显示出：即使是他，也没有完全理解康托尔研究工作的重要性和将会发挥出的能量。康托尔认为，他已经被这个唯一能支持他艰难探索的重要数学家抛弃了。那么，这就正好中了克罗内克的下怀。康托尔要求《数学学报》把他的论文都退回来，以后再也不在那里发表了。米塔格-列夫勒没想到要抛弃康托尔，但不管动机如何，最后的结果却是他真的抛弃了康托尔。
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看到自己在数学上的前途就这样黯淡下去——实际上看起来是没有希望了，康托尔的反应没法不激烈。他开始把更多的时间投入到其他追求上去，包括哲学和神学。他还发现，对比数学家，从罗马天主教会的神学家那里他获得了多得多的支持(30)。
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与此同时，他暴发神经病的间歇期越来越短，他在神经诊所呆的时间越来越长。1896年他母亲的死，1899年他弟弟和小儿子的死，都给康托尔增添了更多的情感伤害。
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