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数学恩仇录：数学家的十大论战 邀请共舞
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不能彻底征服连续统假设，一直不能真正安于他在数学界的地位，在个人问题和数学研究中的失望又引起了很多不快甚至痛苦，康托尔也许有时把发病当作是一种舒缓。这些年有很多时候，他不遗余力地想证明英国哲学家兼政客弗朗西斯·培根（Francis Bacon）是莎士比亚戏剧的作者。作家纳萨里尔·查劳德（Nathalie Charraud）偏激地认为：在某种程度上，康托尔试图向世界揭示莎士比亚的真相，与他希望向世界揭穿克罗内克的真面目有关(31)。
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他的思维也转向了宗教。在这段时期，康托尔把连续统假设上升到了教条的高度——因此它无需证明——并宣称：“从我开始，基督教哲学将第一次用来为无穷这个真理服务。”(32)
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然而，在这些因发病而封闭起来的时期，他的思维一直保持活跃。实际上，康托尔的精神疾患也不全是一个负面因素。双极性情感疾病的一个普遍的特征是痴迷或激动，在这种“亢奋”的状态中，对某些病人来说，容易爆发出创造力，也能把注意力更集中到工作上。这种状况在康托尔的身上，是再明显不过了。
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但是一般来说，在晚年他把更多的精力花在了哲学上，他甚至能够和很多学者讨论这方面的问题。他还长期热衷鼓励年轻人，在早些时候，他实现了建立德国数学学会（Deutsche Mathematiker-Vereinigung，即DMV，或者 German Mathematicians’ Union）的梦想。这是一个官方的数学机构。他认为，这个机构首先可以为年轻的数学家提供一个论坛，使他们可以不再遭受他经历过的曲折。另外他相信，年轻人可以因此更好地理解和发展他所开拓的新数学。
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1891年9月，德国数学学会第一届年会在康托尔所在的哈勒大学召开，他担任会议主席，并担任该机构的主席直到1893年。在第一届年会上，他还打算宣读一篇论文——实际上，这是他5年多来在新数学研究上的第一篇论文——展示不可数集合存在的一个新证明。在论文中，他引入了一个方法来说明：给定任意集合，它所有子集组成的集合都会比这个母集合本身高一次幂。这项成果的核心是一个方法，即后来著名的对角化方法。虽然这个对角化方法是一项很可靠的成就，但他把集合和子集的势进行对比，在后来还是给他带来了很多困扰。
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尽管他和克罗内克之间有争端，他还是邀请克罗内克到这次开幕会上做演讲。当然，作出这样的邀请有很多理由——主要是因为克罗内克的地位和崇高的声誉，人们很难忽视他。但这样做还有一个更深、更微妙的目的。克罗内克对康托尔的抨击经常藏在幕后，在讨论会和演讲中也经常出现，但从来没有写成论文。康托尔希望在这样一个论坛里，克罗内克应该会被逼得在公众面前说出他对集合论的真实感受，这样他的偏见就在数学界公开了。
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正如康托尔13年前在《克列尔杂志》的一篇论文里所做的那样，为了避开克罗内克的耳目，他用特别的方法将他的论文改头换面了一番。这一次他把论文取名为《关于集合论的一个基本性质》（On an Elementary Property of Set Theory）。他认为无理数依然存在争议，但用他的新方法，他不再需要依赖它们，甚或也无需依赖无穷集合的一般观念。
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克罗内克是否会中圈套，我们永远都不会知道了。克罗内克的妻子在一次登山事故中受了伤，他送话来说他祝愿大会成功，但不能到会了。
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后来，康托尔向米塔格-列夫勒透露说，克罗内克不出席可能是最好不过的事了，因为这给同行了解克罗内克在幕后诋毁康托尔一个的绝佳机会。可是，克罗内克本人在这一年的12月去世了。
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大会很成功，会后，康托尔的论文发表在德国数学学会的《年度报告》（Jahresbericht）上。康托尔表明：给定任意集合，它所有子集组成的集合总是比它的母集合高一次幂（高一个基数）。在论文中，他对有限和无穷基数做了新的强调，这又说明了它们各自恰好是集合的有限和无限幂数。
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与此同时，康托尔对德国和德国数学家越来越反感，这也没什么好奇怪的。于是，他很快就积极参与筹划1897年将在苏黎世召开的国际数学家大会（International Congress of Mathematicians）。与成立德国数学学会一样，他希望为新思想的发展创立一个更鼓舞人心的论坛。
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也许是第一次感到逃离了克罗内克恶毒的眼睛，没有什么顾忌，康托尔拿出了一份对他的无穷集合理论新的详细说明。在1885年和1887年，这份说明分两次刊登在《数学年鉴》（Mathematische Annalen）上。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 一个新的世纪
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1888年，康托尔写道：“我的理论像岩石一样坚固，所有射向它的箭都会很快被反弹回来射向射箭的人。我凭什么知道这一点？因为我从各方面研究它好多年了；因为我观察过各种与无穷数抵触的事物。”(33)
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过了一段时间，看起来数学中所有的问题都开始有用集合来定义和解释的苗头——事实上，集合论最终会成为数学的基石。
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然而到世纪之交的时候，康托尔完全没有先前那么自信了。首先，他和其他人在他的研究中发现了某些悖论，这使他和他的追随者们很是痛苦。这里陈述的悖论，是指从可接受的前提得出矛盾结论。一个简单的例子是著名的塞维利亚理发师的故事：他宣称要给塞维利亚城所有不给自己刮脸的男人刮脸，那么他给自己刮脸吗？
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集合论中最著名的悖论是1901年由伯特兰·A·W·罗素提出来的。他是英国广为人知的哲学家兼数学家。罗素提了一个乍看起来很简单的问题，但它动摇了集合论和大部分数学学科赖以维系的根基。罗素考虑到这样一个事实：实质上每种事物都可以归入集合，这就是集合论观念如此强大的原因。他假定一个由所有不是自身元素的集合所组成的集合，称这个集合为R。然后他问：集合R是它自身的一个元素吗？跟那个理发师一样，如果R是它自身的元素，那么它不符合这个集合元素的定义；如果它不是自身的元素，那么它是这个集合一个元素。
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罗素悖论不是集合论中发现的第一个悖论，也不是唯一的一个悖论。事实上，康托尔的朋友恩斯特·策梅洛在以前提出过类似的问题，但认为它不值得追究和发表。
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但这个悖论有着深刻的寓意。早期的集合论考虑过包容一切事物的泛集合的可能性。现在看来，这是不可能的，不是每种事物都能形成集合。我们开始看到，这些悖论对数学家和逻辑学家提出了多么严重的挑战。跟其他悖论一样，罗素悖论就像一头在花园里跳舞的大象一样困扰着数学家们。
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然而对于一些数学家来说，包括那些悖论，这些负面的走向中没有一个看起来能推翻康托尔在超限算术中的基本结论。实际上，人们认为康托尔的新观点和新理论对数学分析、函数理论、拓扑学和非欧几何的进一步发展有极其重要的作用，也认为从普遍意义上来说，要对数学有更基本的理解，它确实是个基础。（现在，各种中学数学课一般都教初级的集合论知识，特别是在上概率论和拓扑学课时。）
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20世纪早期，康托尔仍然在和他的一些同行交流，并积极捍卫他的成果。可喜的是，在他还在世的时候，他的成果获得了广泛的认同，会议和颁奖礼的组织者们很乐意邀请他。不幸的是尽管如此，他的病已经严重到他根本没法参加这些公共聚会的程度。1899年夏天，1902年至1903年和1904年至1905年的冬季学期，他都没法授课，这段时间他都在医院度过。在这之后，他每次在哈勒大学医院里呆的时间越来越长，比如，从1907年10月22日到1908年6月15日，从1911年9月28日到1912年6月18日——这一次，他转到一家新的医院。
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1917年5月11日，康托尔最后一次住进哈勒大学医院。他很不乐意离开家，经常写信给他妻子要求回家，但他的心愿没有实现。那时，第一次世界大战激战正酣，食品短缺，这给他们的生活造成了很大麻烦。1918年1月6日，这位仍住在医院里的杰出数学家突发心脏病辞世，享年73岁。
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