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数学恩仇录：数学家的十大论战 总 结
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很多年以后，关注康托尔和克罗内克之间关系的作者都视克罗内克为“既错误又不公正。”他们的素材几乎都毫无例外地来自于贝尔。正如他用不失华丽且通常富有说服力的方式所描述的：“看到数学在康托尔的带领下向疯人院挺进，激情满怀、全身心投入到他所认为的数学真理的克罗内克，利用所有能利用的手段，精力旺盛而又恶毒地抨击‘关于无穷的正确理论’和它超级敏感的作者。最后，产生了悲剧性的后果——不是集合论，而是康托尔进了精神病院。克罗内克的攻击摧毁了这个理论的创始人。”(34)
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后来，贝尔的语气委婉了一点：“对于康托尔的悲剧，也许克罗内克受了过多的责难。对于众多引发康托尔悲剧的因素来说，他的作为仅是其中之一而已。”(35)但他的话还是有这样的含义：克罗内克是个寻衅者，是个坏家伙。贝尔之后的很多作者都持有相同的观点。
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我们已经看到，克罗内克的所作所为很可能使康托尔的病雪上加霜，但不大像是康托尔得病的主因。对于他攻击康托尔怎样“精力旺盛而又恶毒”，也有一些问题值得商榷。
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纽约大学的教授哈罗尔德·M·爱德华兹（Harold M. Edwards）研究过克罗内克的生平和成果，他说：从本质上来说，“克罗内克经常被描述成武断、偏激和刻薄……我相信克罗内克有理性，不是那么刻薄。”(36)他解释说：“尽管在康托尔明显具有臆想狂倾向的世界里，克罗内克扮有极其重要的角色；但我不信，对于克罗内克，康托尔在他的生活中也会那么重要。我怀疑，对于克罗内克来说，康托尔只不过是另一个被魏尔斯特拉斯引入歧途的年轻人，这个年轻人的数学观念令人绝望地被误导了。”(37)
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爱德华兹指出：“在克罗内克死后10年到15年，有人还能从他的著作中得到很有意义的参考，但是从那以后……鲜有例外，了解克罗内克工作的数学家们都是间接了解到他的。”他认为这种事是通过以下途径发生的：
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魏尔斯特拉斯学派的势力和他们对克罗内克的敌意（这在米塔格-列夫勒1900年的演讲中表现得很明显）确实起了作用。另一个起重要作用的人物是戴德金，他通过自己的研究成果，也通过他对诸如韦伯（Weber）、康托尔和希尔伯特这样的年轻数学家的提携来施加他的影响。戴德金创立了一门新的数学学科，也形成了一种对待数学基础的态度，这容易使克罗内克的工作看起来举步维艰……最后，希尔伯特和康托尔各自凭着自己的影响使年轻一代数学家远离了克罗内克(38)。
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这个结果的一个例证，约翰·D·巴罗（John D. Barrow）在他极为畅销的书《天空中的圆周率》（Pi in the Sky）中写道：康托尔的“名字被人记住了，而克罗内克则几乎完全被遗忘”。(39)一位著作在当代鲜有人读的数学家更容易被视为“坏家伙”。
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莫里斯·克莱因指出：“在他那个时代，克罗内克自己的哲学没有支持者，在差不多25年里，没有人追随他的观念。”(40)然而（大约世纪之交的时候）在发现那些悖论后，庞加莱和布劳威尔等数学家重新发现了克罗内克某些成果的价值，并进一步发展了它。对于这两位数学家，我们在后面章节将详细讨论。
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爱德华兹写道：“我相信，克罗内克的价值重新得到重视最大的希望来自……计算机出现引发的定程式思考趋向……”他接着说：“复活这个长期被人忽视的观点会使人以一个全新的视觉欣赏他的遗产，这是我的希望。”(41)同时，人们或许还会用新的眼光看待克罗内克本人。约瑟夫·道本似乎也同意爱德华兹的说法，至少在大体上认同，他认为：因为从众的心理，人们对待克罗内克不公平(42)。
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研究过这场争端的两位社会学家兰达尔·柯林斯（Randall ollins）和萨尔·内斯蒂沃（Sal Restivo）提出了一个有趣的观点：“克罗内克和康托尔之间的斗争……不是传统和创新的数学意识之间的冲突，而是新范式之间的竞争。克罗内克不是数学上的传统主义者，为了反对当时的无穷和无理数、超越数和超限数等观念，他被迫在一个激进的新基础上构建一门新数学。正如康托尔成为形式主义运动的先驱一样，克罗内克的成果预示着20世纪直觉学派的诞生。两个派别都希望数学变得更严密，但在如何达到这个要求上，他们有很深的分歧。”(43)
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对于康托尔的不幸遭遇，无论克罗内克是否在实际上有直接的责任，克罗内克和康托尔之间的冲突都有积极的后果。康托尔最初的观点是不牢靠的——例如，它们更多地是建立在观念的基础上，而不是公理的基础上——考虑到它们是新创的，这也不让人奇怪。意识到批评（特别是克罗内克的）随时都有可能降临，康托尔和几个追随者被迫不断地深究，最后为他的理论得出更牢固的基础。
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即使这样，当他的集合论在最后发展到更大的规模时，在它内部一系列悖论的出现差一点让它崩溃。他的追随者之一德国数学家恩斯特·策梅洛提出让集合论公理化以拯救它。但是很快，他也会发现，在关于他的工作的价值上，他将陷入了一场痛苦的论辩。
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(1) 伽里莱·伽利略，《两个新科学的对话》（“Dialogues Concerning Two New Sciences”）（纽约：麦格劳-希尔，1963年），第29页。（原版于1638年出版。）
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(2) 克莱因，1972年，第993页。
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(3) 霍林代尔，1989年，第359页。
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(4) 道本，1990年，第4页。
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(5) 道本，1990年，第1页。
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(6) 卡约里，1980年，第362页。（原版于1893年出版。）
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(7) 巴罗，1992年，第200页。
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(8) 阿克泽尔，2000年，第77页。
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(9) 贝尔，1937年，第562页。
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(10) 同上书，第559页。
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(11) 道本，1990年，第147年。
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(12) 集合这个词有很多含义。1895年，康托尔把它看成任何不同的客观世界或思想世界中的物体m的完整组成体M。他称m是M的元素。
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