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数学恩仇录：数学家的十大论战 7 波莱尔vs策梅洛 声名远扬的公理
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1900年，第二次国际数学家大会在巴黎召开。著名的德国数学家戴维·希尔伯特在会上发表了一个演讲，列出当时数学中还未解决的重要问题。他一共提出了23个问题，在演讲中谈到了10个。在他的问题清单中，第一个问题就是还没有找到证据的康托尔的连续统假设。
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你会回想起上一章来。康托尔建立了一个超穷基数系统，在系统中，他置入了按顺序安排的阿列夫数（aleph 0，aleph 1，…）。他相信，在这个阿列夫数系统之外没有基数。但是，在康托尔能够证明每一个基数都能放进这个系统之前，他必须通过一一对应的方法，比较每一对可能的集合要素。而且，就像在直线上的每一点都对应着一个实数一样，无穷基数必须体现出相同的序原则。这样，对于任意两个实数，它们要么相等（a＝b），要么一个比另一个大（b＞a）或小（b＜a）。
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为了证明这个系统，康托尔不得不提出一条特别的性质，他称之为良序原则（well-ordering principle）。如果一个集合天然地具有一个最小的元素，那么可以定义它为良序的。这样，所有正整数的集合在它们的自然顺序下是良序的，因为它是从第一个或最小的元素，也就是1开始的。另一方面，所有整数的集合——包括负整数——不是良序的，因为我们将不得不首先做一个小的修正，设定一个第一个或最小的元素。因此，正整数集合和整数集合有相同的基数，但它们的序类型不同。
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康托尔认为他在从事一项重要的事业。在一篇长论文《集合论基础》（the Grundlagen，1883）中，他写道：“对整个点集理论来说，良序集合的观念被证明是必需的。通常，任意确定的集合都可以用良序集合的形式来表示。既然这种思考方法对我来说是基本的，能够借此得出很多成果，对集合论的普遍有效性尤其有用，在以后的论文中，我还会提到它。”(1)
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如果他能证明良序原理，那么他就能够说明每一个超限基数都等于他的一个阿列夫数。这是迈向证明连续统假设的重要一步。需要特别指出的是，至少在他头脑清晰的时候，他都在努力证明aleph 1（这是他定义的aleph 0之后的无穷的序数）等于c，即连续统或所有实数的势。他说，这将会表明没有中间形式的无穷。也就是说，没有这样一种由元素组成的集合，它的势大于所有自然数集合的势（aleph 0），而小于所有实数组成的集合的势（c）。
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他无能为力，一直都没有找到证明。
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但他的集合论在正反两个方面震动了数学界。同时，康托尔在哈勒大学神经诊所呆的时间更长了。后来在1903年，他恢复了数学研究工作，并在德国数学学会的一次会议上作了演讲，回答了法国数学家在早些时候提出的一些问题。一年后，他获得了授予数学家的最高荣誉之一——这是英国皇家学会所能授予的最高荣誉，即西尔维斯特奖章。
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但是就在这一年，康托尔发现他的理论正面临着一个非常严峻的挑战。在海德堡举办的第三届国际数学家大会（1904年）上，一位来自布达佩斯的著名数学家朱尔斯·柯尼希（Jules Konig）宣读了一篇论文，宣称康托尔连续统的势不是任何阿列夫数，更不用说是aleph 1。
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现在一篇纯数学上的报告，即使是在一个很重要的数学家大会上的报告，都不会在公共媒体上报道。但在当时，柯尼希的报告成了头版新闻。我们只能猜想康托尔的反应。我们了解到，他拒绝接受这个证明，但是又不能在柯尼希的推理中找出任何错误或疏漏。况且柯尼希在同行间享有极好的声誉。
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然而过了不到一天，来自哥廷根大学的一位年轻数学家恩斯特·策梅洛跳出来拯救了康托尔。策梅洛指出柯尼希的一个前提是错的，因此它的证明是靠不住的。但是康托尔清楚，他只能暂时缓一口气。在他或者其他人能够证明连续统假设，即证明连续统确实是一个阿列夫数之前，他全部的工作差不多仍然只是一种理论构想。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 策梅洛
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恩斯特·弗里德里希·费迪南德·策梅洛生于1871年，在柏林长大。他在柏林大学、哈勒大学和弗莱堡大学学过数学、物理学和哲学，师从过一些杰出的教师，比如马克思·普朗克（Max Planck）、埃德蒙德·胡塞尔（Edmund Husserl）和赫尔曼·A·施瓦茨。1894年，他写了一篇变分法方面的论文，拓展了卡尔·魏尔斯特拉斯的方法，由此获得柏林大学的博士学位。1899年，哥廷根大学给他提供了一个无薪助教的职位。1900年至1901年的冬季学期，他开始对集合论感兴趣，并讲授集合论。正如我们在前面看到的，在1904年的国际数学家大会上，正是他指出了柯尼希对集合论的批评中的缺陷，从而拯救了康托尔。
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但是和康托尔一样，策梅洛一直都担心，在现有的形式下，集合论会招致更多的抨击。例如，在集合论问世的早期，在确定什么样的元素能够用来组成集合时，康托尔就用过一些很不严谨的方法。他还主张每一个确定的集合都可以用良序集合的形式来表达，但他一直没能进一步发展他的观点。策梅洛认为，首要一步应该是证明康托尔的良序原理。
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策梅洛提供了证明良序原理所需要的关键步骤。他主张在一些任意给定的非空集合中，我们可以从每个集合中只选出一个元素来组成一个新的集合。换言之，给定任何一组集合，在其中每一个集合中，存在一个方法指定一个元素为该集合的特殊元素。这样，如果假定在一个集合的每个非空子集中，可以选出一个元素，或指定一个元素作为特殊元素，那么这个集合就是良序的。这个假定被称为策梅洛的选择公理。
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选择公理在很多数学家之间激起了反响。他们认为数学需要它，它简化了很多证明过程。这个观点牵涉到无穷多的选择（观念上）。它不是一个全新的观点，在以前康托尔和其他数学家已经酝酿多时。实际上策梅洛宣称：“在数学推论的每一个地方，人们都毫不犹豫地应用了它。”(2)但是，策梅洛的创造在于对这个观点第一次牢靠地进行表述，而且它确实无懈可击。这为策梅洛带来了声誉，1905年他被任命为哥廷根大学的头衔教授。
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然而，他的选择公理也引发了一场争议的风暴。埃里克·坦普尔·贝尔把它看作是一个“声名远扬的公理”(3)。它在很多国家，包括德国、英国、匈牙利、荷兰、意大利和美国(4)，都引起了争议，也有赞成的，但大部分都是反对的。最大的争议集中在法国的数学家中间，其中最主要的反对者是埃米尔·波莱尔。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 波莱尔
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1871年，埃米尔·费里克斯-多尔德-贾斯汀·波莱尔（Emile Felix-Edouard-Justin Borel）生于法国阿韦龙省的圣阿夫里克（Saint-Affrique，Aveyron，France），他跟策梅洛同年。很早的时候，他就显示出数学天才。11岁时，以神童著称的他离开当地的学校进入附近的蒙托邦（Montauban）公立中学读书。19岁时，他进入法国综合理工大学（the Ecole Polytechnique），在第一学年他就发表了两篇论文。1893年，他的学业成绩被评为一等。很快他就被邀请到里尔大学（the University of Lille）任教。1894年，在23岁时他获得巴黎高等师范学校（the Ecole Normale Superieure）的博士学位，在那里他很快就树立了稳固的名声。1911年，他成为那里的科学导师。
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1901年，他结婚了，兴趣开始扩展到数学的应用和公共事务。但这似乎不影响他对理论数学的兴趣和他在这方面的创造。其中之一是他对集合论的特殊兴趣。1898年，在他的《函数论讲义》（Leçons sur la théorie des fonctions）中，波莱尔发表了一个对康托尔集合论非常关键的分析。因此，当1904年策梅洛选择公理的证据出现在《数学年鉴》上时，接下来一期的《数学年鉴》上，编辑收录了一些从国际学术界收集来的评论和批判，而埃米尔·波莱尔的评判尤其受重视。编辑们知道，从波莱尔那里，他们能够得到一些生动的评论。
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例如，波莱尔在他的评论结尾写道：“对我来说，对它（策梅洛的证明）的反对也适用于每一个需要我们设想做出无数次选择的推理，因为这样的推理在数学中不存在。”(5)
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