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数学恩仇录：数学家的十大论战 波莱尔
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1871年，埃米尔·费里克斯-多尔德-贾斯汀·波莱尔（Emile Felix-Edouard-Justin Borel）生于法国阿韦龙省的圣阿夫里克（Saint-Affrique，Aveyron，France），他跟策梅洛同年。很早的时候，他就显示出数学天才。11岁时，以神童著称的他离开当地的学校进入附近的蒙托邦（Montauban）公立中学读书。19岁时，他进入法国综合理工大学（the Ecole Polytechnique），在第一学年他就发表了两篇论文。1893年，他的学业成绩被评为一等。很快他就被邀请到里尔大学（the University of Lille）任教。1894年，在23岁时他获得巴黎高等师范学校（the Ecole Normale Superieure）的博士学位，在那里他很快就树立了稳固的名声。1911年，他成为那里的科学导师。
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1901年，他结婚了，兴趣开始扩展到数学的应用和公共事务。但这似乎不影响他对理论数学的兴趣和他在这方面的创造。其中之一是他对集合论的特殊兴趣。1898年，在他的《函数论讲义》（Leçons sur la théorie des fonctions）中，波莱尔发表了一个对康托尔集合论非常关键的分析。因此，当1904年策梅洛选择公理的证据出现在《数学年鉴》上时，接下来一期的《数学年鉴》上，编辑收录了一些从国际学术界收集来的评论和批判，而埃米尔·波莱尔的评判尤其受重视。编辑们知道，从波莱尔那里，他们能够得到一些生动的评论。
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例如，波莱尔在他的评论结尾写道：“对我来说，对它（策梅洛的证明）的反对也适用于每一个需要我们设想做出无数次选择的推理，因为这样的推理在数学中不存在。”(5)
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为了澄清这种形势，1905年罗素举了这样的例子：
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假定有aleph 0双靴子，那么就需要证明靴子的数目是偶数。如果所有靴子能被分成相互之间类似的两类，那么就是这种情况。现在，如果每双靴子的左边和右边不同，我们就只需要把所有右边的靴子归入一类，所有左边的靴子归入另一类：右边靴子的一类跟左边靴子的一类很相似。这样，我们的问题解决了。但是，如果每双里面右边和左边的靴子没法区分，我们不能找到任何性质能够用来精确区分靴子，这样我们就不能把靴子分成相同数目的两部分，我们也就不能证明它们的数目是偶数。如果靴子的双数是有限的，我们能简单地从每双里挑出一只来；但是如果靴子的数目是无穷大，我们就不能从每双中挑出一只来，除非我们有一个挑选的规则。可是，现在还没有发现这样的规则(6)。
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在选择公理上的争议跟另一个著名的公理上的争议有些类似。这就是欧几里得的平行公设和那些致使非欧几何诞生的问题。这一次争议的中心是：什么是数学中允许的方法。策梅洛的方法，对在运用它时的条件和方法都没有建设性的定义。波莱尔坚决反对没有建设性的方法。
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根本上来说，波莱尔在直接地挑战策梅洛的这个主张：从每一个非空子集中，可以挑出或指定一个元素作为特殊元素，这样我们就可以创建一个良序集合。波莱尔和他的工作组也反对选择公理，因为它需要无穷次操作，这是难以想象的。
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然而，波莱尔认同策梅洛在试图解决一个重要的问题，这样他的反对就引发了相当的争议。接着，他收集了几个顶尖的法国数学家——J·阿达马（J. Hadamard），雷内·贝尔（Rene Baire）和H·勒贝格（H. Lebesgue）——在这个问题上的观点，还加上了他自己的，以《五元集合论》（Cinq lettres sur la théorie des ensembles）为题，于1905年发表在《数学会通报》（Bulletin de la Société Mathématique）上。可是，他非常地公正：阿达马支持策梅洛；贝尔和勒贝格站在他一边。阿达马抱怨说，波莱尔和他的小组对策梅洛太苛刻，质疑的范围远远超过了策梅洛所声明的甚或他想要做的。
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然而这种交流在通过各种方式进行着。例如，贝尔在1905年写信给阿达马说：“波莱尔在信中和我谈起了你对策梅洛的主张所引发的伟大争论所表达的观点……你是知道的，我很认同波莱尔的观点，如果将来我跟他的观点有分歧的话，那也是我比他走得更远的缘故。”
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接着，在同一封信中贝尔写道：“策梅洛说‘让我们设想，对于M的每一个子集，它都有一个对应的元素。’我承认，这种假设绝没有争议。就我而言，对于所有它证明的，如果我们假定每一个为我们定义好的集合，它的元素跟良序集合中的元素一样，在位置上都互相相关，我们就不能察觉到有争议。那么，为了说有人已经确立了每一个集合都可以用良序集合的形式表达，这些话的意思应该用一种特别的方式来诠释，我还要加上一句：它是错误的。”(7)
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几年以后，在1912年，波莱尔对他在这场争论中的意见作了总结。在接下来的详细论述中，波莱尔以挑战康托尔创造的一个方法开头。这个方法牵涉到运用连续的小数来证明全体实数的集比全体整数的集和全体有理数的集大，因此无穷就有不同的级别。
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波莱尔写道：
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通过要求一千个人每人任意写下一个数字的方式来定义一个有限的小数，这是可能的。如果这些人按秩序站好，每人依次在队伍前面的人已经写下的数字结尾写下一个数，我们就可以得到一个清楚定义的数。如果有人试图越出这个程序，写一个不受限制的小数，争议就产生了。我不会假定人们竟然会梦想让无穷多个人每人任意写下一个数字，但我相信，策梅洛先生和阿达马先生会认为在完美的定义方式下，这种选择可以实现，即使完整地定义这个数需要无穷多句话。对我来说，我认为：要么任意地选择数字，要么在选择时对允许某些自由度的选择约束条件加上某些限制，这样得来的小数，它们的可能性会产生问题。但我认为，讨论一个这样的数是不可能的，因为如果有人用A来表示它，两个讨论A的数学家会永远都不能确定他们是否在讨论同一个数(8)。
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但是，他们还反对康托尔“所有集合的集合”这个用法，它是导致我们在第6章中简略讨论过的悖论的最初的原因。波莱尔的小组主张这个概念没有被正确地定义。
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连续统假设也让波莱尔小组的成员难以接受。比如，波莱尔不相信连续统会是良序的。他认为这两个观念截然不同，他把连续统假设看成是所有整数的无穷序列的集合。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 公理化
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这个争议一直都没有完全地解决，但支持康托尔的人用了好几种方法对付这个争议。其中一种方法就是利用悖论。
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希尔伯特从一开始就对集合论很感兴趣。大约在世纪之交的时候，他就发表了《几何基础》（Grundlagen der Geometrie）。这本书用集合的例子主张运用正式的公理体系，以此来确保定理成为稳固的结构，而不是一个像稻草做成的房子那样不堪一击。在那段时间，当康托尔开始面对那些折磨他的几个悖论时，康托尔请求帮助的第一个人就是希尔伯特。实际上，在早于罗素好几年前，策梅洛本人就独自发现了罗素悖论。罗素在1903年发表了这个悖论，并把它告诉过希尔伯特。精彩的《策梅洛的选择公理》（Zermelo’s Axiom of Choice）的作者格雷戈里·H·莫尔（Gregory H. Moore）指出：“但策梅洛没有发表它，这……清楚地表明，悖论对于他来说远不像对于罗素那么紧迫，也许策梅洛有更多的数学倾向，而哲学倾向相对少些吧！”(9)
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因此，希尔伯特对证明实数能组成一个严格的集合有了兴趣。这将是集合论一个很有用的基础，因为它将说明实数集合是否能适当地放入阿列夫数中间，它也将有助于说明连续统的连贯性(10)。但这还是一桩未完成的工作。
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与此同时，在波莱尔和他的小组反对和批评的激励下，策梅洛从一个类似的方向着手这项工作。他也想将集合论建立在一个更稳固的基础上，在使他对良序定理的演示被人接受的同时，挽救他的选择公理。另外，他还是想解决掉当前和那些在以后可能会出现的一些悖论，尽管这不那么重要。他的方法可能跟希尔伯特的差不多，但更进了一步——对集合论进行公理化。
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在1907年的夏天，他完成了两篇重要的论文，内容是对仍然极具争议的良序定理的经过再次修订的证明和他对集合论的公理化。1908年，它们发表在《数学年鉴》的同一期上。
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经过修订的良序定理的证明运用了选择公理，并说明两者是等价的。策梅洛对他运用公理进行了辩解，并主张数学家应该一直运用它，如果它没有引起矛盾的话。他坚持认为，公理“有一个纯粹客观的性质，这很容易明白。”(11)
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