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数学恩仇录：数学家的十大论战 公理化
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这个争议一直都没有完全地解决，但支持康托尔的人用了好几种方法对付这个争议。其中一种方法就是利用悖论。
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希尔伯特从一开始就对集合论很感兴趣。大约在世纪之交的时候，他就发表了《几何基础》（Grundlagen der Geometrie）。这本书用集合的例子主张运用正式的公理体系，以此来确保定理成为稳固的结构，而不是一个像稻草做成的房子那样不堪一击。在那段时间，当康托尔开始面对那些折磨他的几个悖论时，康托尔请求帮助的第一个人就是希尔伯特。实际上，在早于罗素好几年前，策梅洛本人就独自发现了罗素悖论。罗素在1903年发表了这个悖论，并把它告诉过希尔伯特。精彩的《策梅洛的选择公理》（Zermelo’s Axiom of Choice）的作者格雷戈里·H·莫尔（Gregory H. Moore）指出：“但策梅洛没有发表它，这……清楚地表明，悖论对于他来说远不像对于罗素那么紧迫，也许策梅洛有更多的数学倾向，而哲学倾向相对少些吧！”(9)
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因此，希尔伯特对证明实数能组成一个严格的集合有了兴趣。这将是集合论一个很有用的基础，因为它将说明实数集合是否能适当地放入阿列夫数中间，它也将有助于说明连续统的连贯性(10)。但这还是一桩未完成的工作。
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与此同时，在波莱尔和他的小组反对和批评的激励下，策梅洛从一个类似的方向着手这项工作。他也想将集合论建立在一个更稳固的基础上，在使他对良序定理的演示被人接受的同时，挽救他的选择公理。另外，他还是想解决掉当前和那些在以后可能会出现的一些悖论，尽管这不那么重要。他的方法可能跟希尔伯特的差不多，但更进了一步——对集合论进行公理化。
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在1907年的夏天，他完成了两篇重要的论文，内容是对仍然极具争议的良序定理的经过再次修订的证明和他对集合论的公理化。1908年，它们发表在《数学年鉴》的同一期上。
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经过修订的良序定理的证明运用了选择公理，并说明两者是等价的。策梅洛对他运用公理进行了辩解，并主张数学家应该一直运用它，如果它没有引起矛盾的话。他坚持认为，公理“有一个纯粹客观的性质，这很容易明白。”(11)
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第一篇论文也有为他的选择公理辩解的内容。他承认选择公理没有被证明，但他认为“在数学中，没被证明……并不等同于不正确，毕竟不是每种东西都能被证明，但是每个证明反过来都是以没有证明的原理为前提。”(12)那么运用选择公理的依据是什么？他认为选择公理是必要的，因为需要用它来证明重要的定理，自然科学也需要它。
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他认为已经发现在数学中用到了它。“这个公理，即使它从来没有以教科书风格的语言表达出来，它还是被经常用到，并且用得很成功，涉及的数学领域也非常广……是一个毋庸置疑的事实……一个原理运用得如此广泛，只能用不证自明来解释。”(13)
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实际上，正如《数学中的现实主义》（Realism in Mathematics）的作者佩尼洛普·马迪（Penelope Maddy）所指出的：“这整段历史插曲中最有讽刺意味的是：对这个公理最强烈的反对正是来自法国分析家小组——贝尔，波莱尔和勒贝格，而他们却在无意中非常频繁地用到它，他们的工作部分地说明了数学中不可缺少它。”(14)
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策梅洛认为，他关于集合论公理化的第二篇论文尤其重要。当然，他对集合论的极端重要性有很强的信念。他从一开始就做了这种声明，认为它是所有数学领域不可或缺的组成部分。对于看起来会危及集合论的悖论，他相信在提供解决方案之前，他的公理化将会走很长一段路。
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其中的一个问题是：在建构后来被称为他的“幼稚”的集合论时，康托尔没有谨慎地限定集合的概念。策梅洛希望通过特定的公理，他能够澄清集合的概念。如果不符合特定的公理，就不能运用集合的性质。他的计划是只把那些看起来最不可能引起悖论的集合和类别收入公理体系中。令人吃惊的是，他只收入了7个公理，就建立起了他的体系，其中一个就是选择公理！在发表前，他曾希望证明他的集合是前后一致的，但他没法做到这一点。尽管如此，他还是发表了这篇论文。
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波莱尔和他的小组再一次批评了策梅洛的工作，但过了许久之后才慢慢地激烈起来。例如，开始的时候，波莱尔赞成策梅洛和阿达马的一些推理。他说：“当然，对诸如所有实数或所有连续函数之类的数学类进行推理是可能的，它是用有限的语句来定义的，尽管并不是所有的元素都能用这种方式来定义。这样我们可以得到这个类的一般性质。”(15)
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阿达马回应波莱尔说：“我怀疑我还说过别的话。确实为了形成一个集合，所有的元素都必须以某种方式存在……如果不是连续统存在一种良序的方式，策梅洛会说明至少存在一个如此排序的（非空的）类……总之，这意味着（如果策梅洛的主张并不绝对完美）我们应该只能够对所有这些排序的一般性质进行推敲。我愿意相信它。有太多其他我们永远都不会了解的事情。”(16)
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格雷戈里·莫尔又说：“波莱尔承认，对于任何抽象的实体，策梅洛有权利赋予他所希望的不矛盾性质。但与此同时，他强调这种形式逻辑只会导致纯口头结论，与现实没有关系。尽管波莱尔抱着怀疑的态度，但对于一个能特别定义的对象与其中的对象无法特别定义的非空集合，阿达马却认为它们之间截然有别，在数学逻辑中，他的这种想法在后来被认为相当重要。”(17)
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阿达马一直都支持策梅洛，并为了支持选择公理而和其他人辩论。策梅洛相信他的公理是互相独立的，他还认为系统的一致性是件有待确定的复杂事情。但他认为他已经设法为悖论提供了一个答案。
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一般的反应是：他对康托尔的集合论做出了改进，但他的体系还需要完善。莫尔认为：“在1909年至1919年的过渡期，事实证明，对比他引进来作为集合论基础的公理化体系，对于选择公理的争论要有把握得多。”(18)对于策梅洛体系的一个反驳是：它没有为其中的公理提供有针对性的基本原理。
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看起来，这一次对选择公理和策梅洛良序定理的首个证明的反驳没有什么变化。那些反对这个证明的人，包括波莱尔、勒贝格和罗素，就是因为担心这个公理作为集合论的基础公理没有建设性。勒贝格和其他人认为在这个公理中，要用到无穷多个前提来进行推理，这是他们不能接受的。
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伯特兰·罗素——对于促进这项一直在完善中的工作的发展来说，他的悖论非常关键——从来都不怀疑集合论极其重要。他在他的划时代著作《数学原理》（Principia Mathematica，1910—1913，与阿尔弗雷德·诺斯·怀特海（Alfred North Whitehead）合著）的前言中写道：“除了运用的符号之外，本书完全建立在格奥尔格·康托尔的成果之上。”(19)
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另一方面，重要的法国数学家朱尔斯·亨利·庞加莱也认识到悖论，特别是罗素的悖论，清楚地表明集合论是一种严重的疾病，它会感染所有的数学领域。罗素和庞加莱这两个人，在另一件事上产生了激烈的冲突，对此我们在下一章会看到。
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与此同时，尽管波莱尔对集合论吹毛求疵，但很显然他比庞加莱更接受这个基本观点。波莱尔认为集合论是某种和数学物理类似的东西。这就是说，它本身不是实际存在的，但它可以被看作是一种引导，反过来能用来发现新的结论，然后这些结论必须通过可接受的方法来验证(20)。
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形势演变成一场僵局。莫里斯·克莱因写道：
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