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数学恩仇录：数学家的十大论战 罗 素
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伯特兰·阿瑟·威廉·罗素，1872年5月18日生于威尔士的特雷克（Trelleck）。两岁时，他失去了母亲；4岁时，他失去了父亲；6岁时，他失去了祖夫。他主要由祖母带大。在18岁以前，他一直在家接受家庭教师的教育。
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尽管他因为祖母的好品行（包括她对他的爱和某些积极进取的社交爱好）而热爱并尊敬她，但在成年后，他开始感到很压抑。如他所说：“在我到14岁后，我祖母的知识局限让我很难受，她的清教徒道德规范也开始显得有些过分。”(8)事实上，终其一生，罗素经常发现自己陷入理智与情感的冲突之中。
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到十几岁时，他已经表现出了优异的智力。在他的《自传》（Autobiography）中，罗素写道：
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在11岁时，我的哥哥（比伯特兰大7岁）做我的导师，开始教我欧几里得几何。在我的一生中，这是一桩重大事件，像初恋一样让我激动狂喜。我从来没想到，世界上还有这么美好的东西。在学完第五命题(9)后，哥哥告诉我通常人们认为它很难，但我发现根本就不难。第一次我突然明白我也许有些聪明。从那一刻起，直到38岁与怀特海合作完成《数学原理》，数学是我主要的兴趣，也是我主要的快乐源泉。然而像其他所有的快乐一样，它不是纯粹的。有人告诉我欧几里得几何里的内容都是依据于证明，但我失望地发现他是从公理出发的。在开始的时候，如果哥哥不能给我讲清楚这样做的理由，我就拒绝接受它们。但他说：“如果你不接受它们，我们没法继续学习了。”我希望继续学下去，于是我暂时不情愿地接受了它们。当时对那些数学前提的疑惑一直伴随着我，决定了我后来所从事研究的方向(10)。
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1890年，他进入剑桥大学三一学院学习数学和哲学。两年后，他被邀加入“使徒社”（the Apostles）。这是一个人数不多、人员经过精心挑选的团体，经常在大学里聚会。A·N·怀特海是成员之一，他当时是一位数学讲师，他将对罗素的未来有重要影响。尽管非常清楚他们在智慧上的优越性，但使徒社的成员们仍然竭力不让自己太自鸣得意。罗素把对这种活动的参与看作是“我一生中在剑桥最大的快乐”(11)。实际上，他认为他从使徒社里得到的快乐远比他的成就给他的快乐多。他写道，导师们“在剑桥给我的乐趣是很少的”(12)。他接着说：他“从课堂教学里没有什么收益”(13)。
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对他的早期发展来说，罗素写道：
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在上剑桥之前，我就已经对哲学感兴趣了，但除了密尔（Mill）的书，我没有读别的。为假设数学是对的找到一些理由，是我最大的期望。密尔的《逻辑》（Logic）在这个学科上的主张给我的印象是很不完全的……除了一堆错误，我的数学导师从未向我说明假定微积分正确的理由……在第四学年，我读了大部分伟大哲学家的著作，也读了很多数学哲学上的著作。詹姆斯·沃德（James Ward，罗素在剑桥的导师）一直都给我这个学科最新的书看。每次我把它们还给他时，我都说它们写得很糟糕。我清楚地记得他的失望和他为了让我满意而去找书所付出的艰辛努力。之后，我已经成为剑桥的一名教员了，我从他那里得到两本薄书，两本书他都没读过，也不认为有什么价值。它们是格奥尔格·康托尔的《集合论》（Mannichfaltigkeitslehre）(14)和弗雷格（Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）(15)。最终，这两本书给了我想要的依据(16)。（我们将在本章的后部分讨论弗雷格。现在，我们只能说《概念文字》是一本关于逻辑的书，书中论述了建立算法的形式语言。）
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对康托尔的入迷使罗素对一些小领域产生了强烈的好奇心。在19世纪的最后几年，罗素在伦敦政治经济学院（the London School of Economics）做讲师。他后来写道：“我常常每天走到岳父母在格罗斯菲那路（Grosvenor Road）的家去，在那里我花时间读格奥尔格·康托尔，并把他的要点抄到一个笔记本里。在那时，我错误地认为他所有的主张都是错的，但我还是把它们仔细读了一遍，不放过每一个细微之处。这样做是很有帮助的，后来我发现是我全错了。”(17)
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罗素在校的时候，剑桥经历了一场意义深远的变革。管理层开始认为学术研究是教师工作的重要组成部分，而不仅仅是课后打发时间的业余爱好。原创性的研究成果可以赢得丰厚的奖学金，在1895年，罗素也因为关于几何基础的一篇论文获得一份这样的奖学金。这篇论文发表于1897年。
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在这次成功之后，罗素开始汇集各种观点，以对数学的基础做一番综合的整理，但这是一项颇有倾向性的工作。他的研究，主要是他与朋友们的讨论，还有他的演讲，研究工作使他开始思考：在少数几个基本逻辑概念的基础上创建数学是可能的。这就是罗素逻辑主义的开端。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 逻辑主义
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数理逻辑甚至逻辑主义不是突然从伯特兰·罗素的脑子里和笔尖蹦出来的，懂得这一点很重要，罗素也确实是这样认为的。例如在本书的第3章，我提到过莱布尼兹一直有兴趣运用符号逻辑创建一种思维严密的微积分。在以后的岁月里，很多数学家审视并探讨了很多种逻辑，包括数理逻辑和数学的基础，但只有两位数学家对引导罗素发生了特别的影响。
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19世纪70年代末，德国逻辑学家、数学家、哲学家戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）已发现大部分数学都可以由很少量的逻辑陈述推导出来。1884年，他已经发表了《算术基础》（Grundlagen［Foundations］ der Arithmetik）。这本书是对算法公理化所作的早期尝试。然而这本书在很大程度上被忽视了，唯一见诸记载的评论是我们的格奥尔格·康托尔作出的。很显然，他并不真正理解它，而是给了它一个激烈的评论。
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弗雷格相信，逻辑主义——逻辑和数学的亲密结合——在理论上是可能的，他开始设计用来作为源头和基础的命题。到1902年，他已经将他的成果汇总起来，并发表了两卷本的《算术基础》的第一卷。弗雷格正出版他的第二卷的时候，对他早期的《算术基本定律》（Grundagesetze［Basic Laws］ der Arithmetik）印象极深的罗素意识到，自己的悖论在弗雷格的公理体系中产生了矛盾。罗素在给弗雷格的一封信（1902年6月6日）中向他指出了这点，弗雷格极为震惊。
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对弗雷格来说，由于他的这本教科书已经印好了，对其做出任何修改都太晚了。但他加了一个附录，以这样令人吃惊的声明开头：
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工作刚刚完成，其赖以维系的根基就垮掉了，对于一位科学家来说，没有比这更郁闷的遭遇了。当我的书接近出版的尾声时，伯特兰·罗素先生的一封信就把我置于这样的境地。(18)
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在附录中，弗雷格修改了那个公理，尽管他已经在这本书的其他地方，特别是第一卷中出了问题。
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历史记载表明：在这以后，弗雷格变得非常沮丧，虽然事实上主要是出于个人甚至是政治原因。直到晚年他才从阴影里走了出来，再次开始做一些为人称道的工作，尽管再也不是这个领域的工作了。1923年，他实际上得出了这样的结论：尝试把数学建立在逻辑的基础上是误入歧途。
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具有讽刺意味的是，当1901年罗素提出他的悖论时，他已经开始致力于对他在逻辑主义上的努力——《数学原理》（1903）——做出首次郑重说明。虽然弗雷格轻易地放弃了从逻辑中导出数学的努力，但罗素没有，他决定继续下去，并发表了他的成果——仍然讨论了他的悖论，但没有给出对悖论的解答，只是在寻求解决方案方面向前迈了一步。弗雷格的第二卷也发表了，但已经是在10年之后；他的第三卷一直都没有完成。
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但是在《数学原理》的前言中，罗素自己承认：“弗雷格教授的成果，大部分都先于我，当他的现有成果开始出版时，其中的大部分我都不懂。我已经见过他的《算术基础》，但是由于他的符号系统太难，我没有领会它的重要性，也不懂它的内容。在这么晚的时候，对他的成果做出适当回应的唯一办法就是给它加上一个附录。”(19)换句话说，弗雷格做得很对，但他认为罗素的悖论使自己的工作没法再继续下去了。这给了罗素一个自由驰骋的机会，但完成这件任务绝不是一件简单的事。
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另一个讽刺是，正如罗素自己在后来所说的：“尽管他（弗雷格）做出了划时代的发现，但在1903年我注意到他之前，他一直完全得不到赏识。”(20)
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今天如果弗雷格重生，他会很骄傲，也许还会很惊诧地发现新弗雷格主义（neo-Fregeanism）成了现在的时髦。最近几十年，数学家们对他的工作进行很认真的探究，并尝试把它融合到当今的研究成果和应用中去。(21)
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