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数学恩仇录：数学家的十大论战 逻辑主义
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数理逻辑甚至逻辑主义不是突然从伯特兰·罗素的脑子里和笔尖蹦出来的，懂得这一点很重要，罗素也确实是这样认为的。例如在本书的第3章，我提到过莱布尼兹一直有兴趣运用符号逻辑创建一种思维严密的微积分。在以后的岁月里，很多数学家审视并探讨了很多种逻辑，包括数理逻辑和数学的基础，但只有两位数学家对引导罗素发生了特别的影响。
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19世纪70年代末，德国逻辑学家、数学家、哲学家戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）已发现大部分数学都可以由很少量的逻辑陈述推导出来。1884年，他已经发表了《算术基础》（Grundlagen［Foundations］ der Arithmetik）。这本书是对算法公理化所作的早期尝试。然而这本书在很大程度上被忽视了，唯一见诸记载的评论是我们的格奥尔格·康托尔作出的。很显然，他并不真正理解它，而是给了它一个激烈的评论。
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弗雷格相信，逻辑主义——逻辑和数学的亲密结合——在理论上是可能的，他开始设计用来作为源头和基础的命题。到1902年，他已经将他的成果汇总起来，并发表了两卷本的《算术基础》的第一卷。弗雷格正出版他的第二卷的时候，对他早期的《算术基本定律》（Grundagesetze［Basic Laws］ der Arithmetik）印象极深的罗素意识到，自己的悖论在弗雷格的公理体系中产生了矛盾。罗素在给弗雷格的一封信（1902年6月6日）中向他指出了这点，弗雷格极为震惊。
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对弗雷格来说，由于他的这本教科书已经印好了，对其做出任何修改都太晚了。但他加了一个附录，以这样令人吃惊的声明开头：
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工作刚刚完成，其赖以维系的根基就垮掉了，对于一位科学家来说，没有比这更郁闷的遭遇了。当我的书接近出版的尾声时，伯特兰·罗素先生的一封信就把我置于这样的境地。(18)
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在附录中，弗雷格修改了那个公理，尽管他已经在这本书的其他地方，特别是第一卷中出了问题。
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历史记载表明：在这以后，弗雷格变得非常沮丧，虽然事实上主要是出于个人甚至是政治原因。直到晚年他才从阴影里走了出来，再次开始做一些为人称道的工作，尽管再也不是这个领域的工作了。1923年，他实际上得出了这样的结论：尝试把数学建立在逻辑的基础上是误入歧途。
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具有讽刺意味的是，当1901年罗素提出他的悖论时，他已经开始致力于对他在逻辑主义上的努力——《数学原理》（1903）——做出首次郑重说明。虽然弗雷格轻易地放弃了从逻辑中导出数学的努力，但罗素没有，他决定继续下去，并发表了他的成果——仍然讨论了他的悖论，但没有给出对悖论的解答，只是在寻求解决方案方面向前迈了一步。弗雷格的第二卷也发表了，但已经是在10年之后；他的第三卷一直都没有完成。
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但是在《数学原理》的前言中，罗素自己承认：“弗雷格教授的成果，大部分都先于我，当他的现有成果开始出版时，其中的大部分我都不懂。我已经见过他的《算术基础》，但是由于他的符号系统太难，我没有领会它的重要性，也不懂它的内容。在这么晚的时候，对他的成果做出适当回应的唯一办法就是给它加上一个附录。”(19)换句话说，弗雷格做得很对，但他认为罗素的悖论使自己的工作没法再继续下去了。这给了罗素一个自由驰骋的机会，但完成这件任务绝不是一件简单的事。
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另一个讽刺是，正如罗素自己在后来所说的：“尽管他（弗雷格）做出了划时代的发现，但在1903年我注意到他之前，他一直完全得不到赏识。”(20)
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今天如果弗雷格重生，他会很骄傲，也许还会很惊诧地发现新弗雷格主义（neo-Fregeanism）成了现在的时髦。最近几十年，数学家们对他的工作进行很认真的探究，并尝试把它融合到当今的研究成果和应用中去。(21)
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罗素的目标是为数学的原理创建一个更全面的处理方法。他开始更坚定地相信：纯粹数学能够建立在一小部分基本的逻辑概念上，它的命题也能从为数不多的基本逻辑原理推导出来。但罗素对他的初稿不是很满意。
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1900年，他参加了在巴黎召开的国际哲学大会（the International Congress of Philosophy）。他后来写道：这次会议“是我知识生命的一个转折点，因为在这里我遇到了（居塞普）皮亚诺（［Giuseppi］ Peano）……在大会的讨论中，我发现他一直都比其他任何人更精确，在他参与的辩论中，他总是能获胜。过了一段时间，我明白这应该是由于他精通数理逻辑。因此，我让他把他所有的研究成果都送给我。大会一结束，我就隐退到芬赫斯特（Fernhurst，罗素的家庭所在地），安静地琢磨他和他的弟子写的每一个字。对我来说，很明显他的符号为逻辑分析提供了一个工具，这正是我寻求多年的。”(22)例如：用□表示“隐含”或“包含”，用∈表示“属于”。这样，命题“实体y是集合A的一个元素”可以用y∈A来表示。结果，这样做既简洁又精确。用这套符号，皮亚诺成功地表述了很多定义、定理和证明。
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罗素很快就领会了皮亚诺的想法和他这套内涵丰富的符号系统，并开始在皮亚诺成果的基础上重写他的书。例如，如罗素后来所解释的：“将所有传统的纯粹数学简化为自然数理论后，逻辑分析的下一步就是把这个理论本身简化为不多的几套前提和未定义的术语，凭借它们能够推导出这个理论。皮亚诺已经完成了这个工作。他向我们表明：运用纯逻辑，整个的自然数理论都可以从三个原始的观点和五个原始的命题推导出来。因此，可以说这三个观点和五个命题就成为整个纯粹数学关注的焦点。如果能运用其他的术语定义并证明它们，那么也就可以定义和证明整个纯粹数学。”(23)
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数学恩仇录：数学家的十大论战 逻辑主义毫不隐瞒地露面了
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罗素的《数学原理》将要以两卷本的形式出现在世人面前。尽管罗素对这本书的初稿不是很满意，但巴黎大会之后的几个月里，这本书的撰写进展得很顺利。1903年面世的第一卷确实是受欢迎的杰作，提出了很多支持逻辑与数学间有密切关联的观点。第二卷将写入这些观点所需要的证明，但它一直没有完成。结果是它演变成了鸿篇巨制的三卷本《数学原理》。这套书，他是分阶段在他的好友兼同事阿尔弗莱德·诺斯·怀特海（1861—1947）合作下完成的。
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这套大部头的杰作长达两千多页，直到现在仍公认是最重要的数学著作之一。尽管人们不经常读它，但它突出体现了罗素的“数学可以从逻辑的规则中推导出来”的主旨，它也给出了一些前提，说明这些规则在数论、集合论和其他数学领域中如何运用。
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后来，罗素发出一个挑战：“如果还有人不承认逻辑和数学的一致性，我们可以挑战他们，让他们指出，在《数学原理》严密的定义和推导过程中，哪个地方没有逻辑而只有数学？！”(24)
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《数学原理》的写作是一项艰巨的任务。作者曾估计可能要花一年时间完成，但第一卷直到1910年才面世。从1907年开始，在接下来的3年里，罗素每年工作8个月，每天工作10小时。第一卷出版时，又一个问题产生了。签约出版这套书的剑桥大学出版社没想到这套书最终会有这么多页，出版它有可能会导致600英镑的亏损。出版社同意承担一半的亏损，如果作者能够承担另一半的话。伦敦皇家学会为自身的荣誉着想，捐助了200英镑，两位作者每人分担了50英镑。
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然而与此同时，罗素还在努力解决悖论问题。他开始怀疑这些悖论构成了某种恶性循环，并寻求规避这个悖论的方法。开始，他曾尝试用一种称作类型论（the theory of types）的方法。这个方法的基本观点是区分个体、个体的范围、个体的范围的范围，依此类推。每一层次成为一个类型。他规定：如果表述“x是一个u”有意义的话，那么u肯定与x是同一层次或类型，或者比x的层次或类型高。他把这写在他的《数学原理》的附录里。尽管这个观念被大家纷纷议论了很多年，但这还是第一次出现在书面上。然而尽管它能够解决他的悖论，却不能对付康托尔的，所以他还是不能真正为之高兴。
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有趣的是，庞加莱也曾经用同样的思路解决这些悖论。他认为悖论包括一个集合和它的一个元素，该元素的定义取决于作为一个单元的该集合。他称这种定义为非直谓的（impredicative），它在概念上与罗素称之为恶性循环的东西类似。排除这些集合就不会产生讨厌的悖论。这确实有效，但会给数学推导过程添加一个苛刻的限制。这样做最大的问题是：很多已确定的数学知识刚好都是建立在这种集合上的。
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1905年，罗素用了一些新想法再次尝试。这一次针对这个问题，他摸索出三个不同的方法：曲折论（the zig-zag approach），在考虑定义清楚的类时，对命题函数（propositional function）的复杂程度加以限制；限量论（limitation-of-size theory），制定规则以防止某些类过大而引起矛盾；非类论（no-classes theory），提议完全废除类。这些方法中的每一个都成为后来研究的对象。罗素在一篇名为《关于超穷数和超穷序型理论中的一些困难》（On Some Difficulties in the Theory of Transfinite Types and Order Types）的论文中提出了这些方法。1905年12月14日，他在伦敦数学学会上宣读了这篇论文，并把它发表在1906年3月7日的《伦敦数学学会会报》（the London Mathematical Society’s Proceedings）上。论文中，罗素以这样的评论开头：“在某些逻辑推理的思考方法帮助下，我们可以相信三个理论中的每一个都是合理的。”(25)
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