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数学恩仇录：数学家的十大论战 逻辑主义毫不隐瞒地露面了
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罗素的《数学原理》将要以两卷本的形式出现在世人面前。尽管罗素对这本书的初稿不是很满意，但巴黎大会之后的几个月里，这本书的撰写进展得很顺利。1903年面世的第一卷确实是受欢迎的杰作，提出了很多支持逻辑与数学间有密切关联的观点。第二卷将写入这些观点所需要的证明，但它一直没有完成。结果是它演变成了鸿篇巨制的三卷本《数学原理》。这套书，他是分阶段在他的好友兼同事阿尔弗莱德·诺斯·怀特海（1861—1947）合作下完成的。
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这套大部头的杰作长达两千多页，直到现在仍公认是最重要的数学著作之一。尽管人们不经常读它，但它突出体现了罗素的“数学可以从逻辑的规则中推导出来”的主旨，它也给出了一些前提，说明这些规则在数论、集合论和其他数学领域中如何运用。
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后来，罗素发出一个挑战：“如果还有人不承认逻辑和数学的一致性，我们可以挑战他们，让他们指出，在《数学原理》严密的定义和推导过程中，哪个地方没有逻辑而只有数学？！”(24)
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《数学原理》的写作是一项艰巨的任务。作者曾估计可能要花一年时间完成，但第一卷直到1910年才面世。从1907年开始，在接下来的3年里，罗素每年工作8个月，每天工作10小时。第一卷出版时，又一个问题产生了。签约出版这套书的剑桥大学出版社没想到这套书最终会有这么多页，出版它有可能会导致600英镑的亏损。出版社同意承担一半的亏损，如果作者能够承担另一半的话。伦敦皇家学会为自身的荣誉着想，捐助了200英镑，两位作者每人分担了50英镑。
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然而与此同时，罗素还在努力解决悖论问题。他开始怀疑这些悖论构成了某种恶性循环，并寻求规避这个悖论的方法。开始，他曾尝试用一种称作类型论（the theory of types）的方法。这个方法的基本观点是区分个体、个体的范围、个体的范围的范围，依此类推。每一层次成为一个类型。他规定：如果表述“x是一个u”有意义的话，那么u肯定与x是同一层次或类型，或者比x的层次或类型高。他把这写在他的《数学原理》的附录里。尽管这个观念被大家纷纷议论了很多年，但这还是第一次出现在书面上。然而尽管它能够解决他的悖论，却不能对付康托尔的，所以他还是不能真正为之高兴。
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有趣的是，庞加莱也曾经用同样的思路解决这些悖论。他认为悖论包括一个集合和它的一个元素，该元素的定义取决于作为一个单元的该集合。他称这种定义为非直谓的（impredicative），它在概念上与罗素称之为恶性循环的东西类似。排除这些集合就不会产生讨厌的悖论。这确实有效，但会给数学推导过程添加一个苛刻的限制。这样做最大的问题是：很多已确定的数学知识刚好都是建立在这种集合上的。
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1905年，罗素用了一些新想法再次尝试。这一次针对这个问题，他摸索出三个不同的方法：曲折论（the zig-zag approach），在考虑定义清楚的类时，对命题函数（propositional function）的复杂程度加以限制；限量论（limitation-of-size theory），制定规则以防止某些类过大而引起矛盾；非类论（no-classes theory），提议完全废除类。这些方法中的每一个都成为后来研究的对象。罗素在一篇名为《关于超穷数和超穷序型理论中的一些困难》（On Some Difficulties in the Theory of Transfinite Types and Order Types）的论文中提出了这些方法。1905年12月14日，他在伦敦数学学会上宣读了这篇论文，并把它发表在1906年3月7日的《伦敦数学学会会报》（the London Mathematical Society’s Proceedings）上。论文中，罗素以这样的评论开头：“在某些逻辑推理的思考方法帮助下，我们可以相信三个理论中的每一个都是合理的。”(25)
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数学恩仇录：数学家的十大论战 庞加莱
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备受推崇的法国数学家朱尔斯·亨利·庞加莱却对这些进展冷眼旁观。
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他于1854年4月29日生于法国的南希（Nancy），比罗素大18岁。在一个专业化迅猛发展的时代，他是为数不多的涉猎广泛的数学科学家之一。在世纪之交，他已经在好几个领域颇有建树，包括数论、拓扑学、概率论和数学物理学的诸多领域。另外，他还写了一套关于天体力学的三卷本著作，这套书直到现在仍很著名。他甚至在狭义相对论方面做出了开创性的工作，这为后来的科学哲学发展作出了重要贡献。
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他的年轻时光是在一群充满智慧和富有成就的人中间度过的。在家里受过短期的教育后，他分别南希中学、综合理工大学、矿业学院（the School of Mines）就读，接着是巴黎大学，在那里，他于1879年获得巴黎大学数学科学博士学位。他的博士论文是关于微分方程的。1881年，他成为一名讲师；1886年，他成为巴黎大学的一名正教授。他一直在这里工作直到1912年去世。
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当时他的视力差、身体弱、社交能力不行，使他成为被取笑和欺负的对象（在某些场合，这样的情景我们可以想象得到），但在他年轻时学习和工作的地方，他的杰出才能都让他在同学、同事或同行中显得鹤立鸡群。
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他的学业刚结束，他取得的数学和科学成果就让人印象深刻：他在数学物理学上出版了30多本书，在数学方面发表了近500篇论文。他还在科学哲学上写了很多受欢迎的文章和长达三卷本的书，都被认为是这个领域的经典。著名的科学史家詹姆斯·R·纽曼（James R. Newman）对庞加莱的写作风格作了一个有趣的评论：“除了他的句子有些高卢人的风味外，他流畅、精妙的风格很像伯特兰·罗素。”(26)我们很快就能够比较他们的作品了！
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庞加莱工作方法上的某些特别之处对我们了解他有些帮助。他的工作时间很特别——从上午10点到中午，从下午5点到7点。在晚上，他读期刊。虽然他阅读面广泛，但他没有利用别人的成果来开展自己的研究思路。在他自己的研究工作中，庞加莱直接从最基本的地方入手来得出他的观点。这种研究方法从他的早年就开始了，也说明了为什么他在综合理工大学上所有数学课时能够一条笔记都不做。这不是因为他能够记住所有的东西，而是因为在他需要的时候，他就能推导出这些东西来。他的传记作者之一E·图卢兹（E. Toulouse）后来说，庞加莱在写论文时经常不做一个全局的计划——的确，他可能不知道他怎样结束论文，就开始提笔写了。
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到和罗素发生争论时，庞加莱获得过所有能够获得的奖章和奖金，还曾被选为最显赫的科学和数学组织的成员。这些荣誉中的一个似乎给他的研究生涯带来了转折。1887年，他年仅32岁就被选为法国科学院的成员。这显然使他比以往更有的兴趣去与公众打交道，他开始为更多读者写东西。他写的非技术类书籍和文章总数接近100本（篇），几乎全部都是在他选入科学院后写的。
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他在国内国外的声誉日隆。他经常被邀请为大众就数学和科学发表演讲或撰写文章，当然这对他很简单。作为一位数学家和科学家，他是不平凡的，因为他有着异常广泛的兴趣并且都能掌握它们。他博览群书并清楚周围发生的一切。他还开始更多地关注自然和数学哲学的基本问题。
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与克罗内克和他同时代的其他人一样，对于在当时生根的新数学观念，他有一些非常明确的想法。例如他认为：没有必要去给整数下定义或者将它们的性质公理化；如果不能用有限的语句给一个对象作出清楚而完整的定义，我们就不能引入它。
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他称集合论是一个病例，并预测：“后人会认为（康托尔的）集合论是一场我们设法痊愈的病。”(27)
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他认为一些数学观点比逻辑更基础，不能用逻辑术语来表述。1904年，他写道：“运用逻辑，我们证明；利用直觉，我们创造。”后来他声明：“因此，如果没有直觉的浇灌，逻辑还是荒漠一片。”(28)
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考虑到他所笃信的数学理念，他倾向并主要研究应用数学就不奇怪了。他说：“经验是所有真理的唯一来源。”(29)虽然这最终导致他去深刻思考科学知识的基础这个问题，他对具体有形事物的倾向还是根深蒂固。这样，与视无穷为一个实在且可演算的概念的康托尔形成对比，庞加莱反对无穷集的主张。实际上他主张：“实无穷是不存在的。无论多少事物已经存在，我们称为无穷的东西只具有创造新事物的无限可能性。”(30)莫里斯·克莱因写道：
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（庞加莱）非常讨厌严重依赖符号逻辑的方法，在他的《科学与方法》（Science and Method）中，他甚至对这种行为作了讽刺。（塞萨尔）布拉利-福蒂（（Cesare）Burali-Forti）在1897年的一篇文章中针对整数运用了一个这样的方法，人们会发现文中用了令人晕眩的符号来定义1这个数，谈到这时，庞加莱评论说，对于以前从来没有听说过1这个数的人来说，这是一个极好的定义，很合适让人们了解它。(31)
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在另一篇庞加莱的早期文章中，他发表了一个更偏激的声明，他写道：
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