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数学恩仇录：数学家的十大论战 庞加莱
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备受推崇的法国数学家朱尔斯·亨利·庞加莱却对这些进展冷眼旁观。
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他于1854年4月29日生于法国的南希（Nancy），比罗素大18岁。在一个专业化迅猛发展的时代，他是为数不多的涉猎广泛的数学科学家之一。在世纪之交，他已经在好几个领域颇有建树，包括数论、拓扑学、概率论和数学物理学的诸多领域。另外，他还写了一套关于天体力学的三卷本著作，这套书直到现在仍很著名。他甚至在狭义相对论方面做出了开创性的工作，这为后来的科学哲学发展作出了重要贡献。
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他的年轻时光是在一群充满智慧和富有成就的人中间度过的。在家里受过短期的教育后，他分别南希中学、综合理工大学、矿业学院（the School of Mines）就读，接着是巴黎大学，在那里，他于1879年获得巴黎大学数学科学博士学位。他的博士论文是关于微分方程的。1881年，他成为一名讲师；1886年，他成为巴黎大学的一名正教授。他一直在这里工作直到1912年去世。
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当时他的视力差、身体弱、社交能力不行，使他成为被取笑和欺负的对象（在某些场合，这样的情景我们可以想象得到），但在他年轻时学习和工作的地方，他的杰出才能都让他在同学、同事或同行中显得鹤立鸡群。
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他的学业刚结束，他取得的数学和科学成果就让人印象深刻：他在数学物理学上出版了30多本书，在数学方面发表了近500篇论文。他还在科学哲学上写了很多受欢迎的文章和长达三卷本的书，都被认为是这个领域的经典。著名的科学史家詹姆斯·R·纽曼（James R. Newman）对庞加莱的写作风格作了一个有趣的评论：“除了他的句子有些高卢人的风味外，他流畅、精妙的风格很像伯特兰·罗素。”(26)我们很快就能够比较他们的作品了！
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庞加莱工作方法上的某些特别之处对我们了解他有些帮助。他的工作时间很特别——从上午10点到中午，从下午5点到7点。在晚上，他读期刊。虽然他阅读面广泛，但他没有利用别人的成果来开展自己的研究思路。在他自己的研究工作中，庞加莱直接从最基本的地方入手来得出他的观点。这种研究方法从他的早年就开始了，也说明了为什么他在综合理工大学上所有数学课时能够一条笔记都不做。这不是因为他能够记住所有的东西，而是因为在他需要的时候，他就能推导出这些东西来。他的传记作者之一E·图卢兹（E. Toulouse）后来说，庞加莱在写论文时经常不做一个全局的计划——的确，他可能不知道他怎样结束论文，就开始提笔写了。
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到和罗素发生争论时，庞加莱获得过所有能够获得的奖章和奖金，还曾被选为最显赫的科学和数学组织的成员。这些荣誉中的一个似乎给他的研究生涯带来了转折。1887年，他年仅32岁就被选为法国科学院的成员。这显然使他比以往更有的兴趣去与公众打交道，他开始为更多读者写东西。他写的非技术类书籍和文章总数接近100本（篇），几乎全部都是在他选入科学院后写的。
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他在国内国外的声誉日隆。他经常被邀请为大众就数学和科学发表演讲或撰写文章，当然这对他很简单。作为一位数学家和科学家，他是不平凡的，因为他有着异常广泛的兴趣并且都能掌握它们。他博览群书并清楚周围发生的一切。他还开始更多地关注自然和数学哲学的基本问题。
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与克罗内克和他同时代的其他人一样，对于在当时生根的新数学观念，他有一些非常明确的想法。例如他认为：没有必要去给整数下定义或者将它们的性质公理化；如果不能用有限的语句给一个对象作出清楚而完整的定义，我们就不能引入它。
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他称集合论是一个病例，并预测：“后人会认为（康托尔的）集合论是一场我们设法痊愈的病。”(27)
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他认为一些数学观点比逻辑更基础，不能用逻辑术语来表述。1904年，他写道：“运用逻辑，我们证明；利用直觉，我们创造。”后来他声明：“因此，如果没有直觉的浇灌，逻辑还是荒漠一片。”(28)
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考虑到他所笃信的数学理念，他倾向并主要研究应用数学就不奇怪了。他说：“经验是所有真理的唯一来源。”(29)虽然这最终导致他去深刻思考科学知识的基础这个问题，他对具体有形事物的倾向还是根深蒂固。这样，与视无穷为一个实在且可演算的概念的康托尔形成对比，庞加莱反对无穷集的主张。实际上他主张：“实无穷是不存在的。无论多少事物已经存在，我们称为无穷的东西只具有创造新事物的无限可能性。”(30)莫里斯·克莱因写道：
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（庞加莱）非常讨厌严重依赖符号逻辑的方法，在他的《科学与方法》（Science and Method）中，他甚至对这种行为作了讽刺。（塞萨尔）布拉利-福蒂（（Cesare）Burali-Forti）在1897年的一篇文章中针对整数运用了一个这样的方法，人们会发现文中用了令人晕眩的符号来定义1这个数，谈到这时，庞加莱评论说，对于以前从来没有听说过1这个数的人来说，这是一个极好的定义，很合适让人们了解它。(31)
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在另一篇庞加莱的早期文章中，他发表了一个更偏激的声明，他写道：
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逻辑有时候制造怪物。半个世纪（以来），我们已经看到，一些怪异的方程出现了，它们看起来竭力要跟有些实际用途的方程尽可能地不像……以前，发明一个新的方程是为了一些实际的目的；现在，它们发明出来，就是为了给我们前辈的推导找茬，除此之外，我们永远也不会从中得到什么。(32)
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因此，看到庞加莱成为倚重集合论的逻辑主义的主要反对者，我们就不会奇怪了。有一段时间在法国，罗素的逻辑主义主要反对者是法国数学家路易斯·库蒂拉特（Louis Couturat），他在1904年和1906年发表了一些文章。庞加莱正找不到地方发泄他的情感，而这时罗素的文章发表在1906年的《伦敦数学学会会报》（Proceeding of the London）上，庞加莱决定：该作出行动了。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 回 应
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正是在这个时候，庞加莱决定对罗素的逻辑主义发起一个全面的批判。法国期刊《形而上学与伦理学杂志》（Revue de Metaphysique et de Morale）于1893年开始出版，它的目标是使哲学和各种科学（道德的，自然的）能相互理解。庞加莱已成为主要的投稿者之一。因此，他选择在这里发起他的批判。在罗素的论文发表仅仅两个月后的1906年5月，庞加莱以《数学与逻辑》（Les mathematiques et la logique）为题刊发了他的反对文章。而这篇文章只是“跳板”。
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庞加莱从回溯康托尔开始他的批判。在简短地介绍了康托尔的集合论后，庞加莱写道：
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很多数学家跟随（康托尔的）指引……在他们的眼中，为了用真正逻辑的方法教算术，我们应该从确定超穷基数的一般性质入手，然后从它们中间区分出一个非常小的类，即普通整数的类。由于这条便道，我们会在证明所有与这个小类相关的命题（也就是说，我们所有的算术和代数）上取得成功，而无需运用任何与逻辑不相关的原理。
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然而庞加莱主张：
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这种方法显然与任何健全的心理相悖；当然，人的智力也不是用这种方法在构建数学中取得进展的。因此我想，它的作者该不会梦想到在中学教学中引入这种方法吧。它符合逻辑吗？或者这样说更好，它是对的吗？这让我疑惑……
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