1701057166
数学恩仇录：数学家的十大论战 回 应
1701057167
1701057168
正是在这个时候，庞加莱决定对罗素的逻辑主义发起一个全面的批判。法国期刊《形而上学与伦理学杂志》（Revue de Metaphysique et de Morale）于1893年开始出版，它的目标是使哲学和各种科学（道德的，自然的）能相互理解。庞加莱已成为主要的投稿者之一。因此，他选择在这里发起他的批判。在罗素的论文发表仅仅两个月后的1906年5月，庞加莱以《数学与逻辑》（Les mathematiques et la logique）为题刊发了他的反对文章。而这篇文章只是“跳板”。
1701057169
1701057170
庞加莱从回溯康托尔开始他的批判。在简短地介绍了康托尔的集合论后，庞加莱写道：
1701057171
1701057172
很多数学家跟随（康托尔的）指引……在他们的眼中，为了用真正逻辑的方法教算术，我们应该从确定超穷基数的一般性质入手，然后从它们中间区分出一个非常小的类，即普通整数的类。由于这条便道，我们会在证明所有与这个小类相关的命题（也就是说，我们所有的算术和代数）上取得成功，而无需运用任何与逻辑不相关的原理。
1701057173
1701057174
然而庞加莱主张：
1701057175
1701057176
这种方法显然与任何健全的心理相悖；当然，人的智力也不是用这种方法在构建数学中取得进展的。因此我想，它的作者该不会梦想到在中学教学中引入这种方法吧。它符合逻辑吗？或者这样说更好，它是对的吗？这让我疑惑……
1701057177
1701057178
他接着说：
1701057179
1701057180
不幸的是，他们得出了称之为康托尔悖论（Cantorian antinomies，就是指那些悖论）的矛盾结果……这些矛盾没有让他们沮丧，他们努力去修正他们的规则，以便让那些已经不言自明的矛盾消失。尽管如此，他们还是不能确定，新出现的矛盾是否也是不言自明的。
1701057181
1701057182
该是对这些不实学问进行审判的时候了。我不奢望让他们明白，因为他们已经在这种氛围中呆得太久。另外，当他们的一个例证被驳倒后，我们肯定会看到它以一种无意义的变化形式复活了，它们中的一些已经从它们的骨灰中复活过好多次了。
1701057183
1701057184
然后，他说：
1701057185
1701057186
这样，可以被理解为，说明一个定理，知道它是什么意思既没有必要，也没有什么优势可言。几何学家也许会被“逻辑钢琴”（logic piano）所替代……或者如果你愿意，可以想象一台机器，一端输入假定，另一端就会输出定理，就像传说中的芝加哥机器一样，扔进活猪，出来的都变成火腿和香肠。除了这些机器，对于他们所要做的，数学家们不需要知道更多。
1701057187
1701057188
因此，从假定推导到定理的逻辑正确性不应该是唯一让我们投入的事。完美逻辑的规则是数学的全部吗？这就好比说，下棋的全部美妙之处就在于移动棋子的规则。在所有能由逻辑提供的材料建立的构造中，我们必须做出选择。真正的几何学家会明智地作出这种选择，因为有可靠的直觉或模糊的意识在指引着他。我知道，这种模糊的意识不会是更深奥和更隐秘的几何，只凭它就可以赋予这栋在建造的大厦以价值(33)。
1701057189
1701057190
这里是庞加莱对于罗素尝试解决“悖论”的几个评论：
1701057191
1701057192
依据曲折论，当“定义（命题函数）很简单时，它们决定一个类；当它们复杂和含混时，它们不能决定一个类。”现在，谁来决定一个定义是否可以被认为简单到能被接受？如果不对完全无能为力做一个忠实的坦白的话，这个问题就没有答案。（讽刺性地引用罗素的话）“那些让我们认识到这些定义是否正确的规则将会极其复杂，不能用任何合理的原因来解释它们。”……除了排除悖论以外，我还没能找到任何其他的指导性原则。
1701057193
1701057194
庞加莱这样结束这一个观点：
1701057195
1701057196
因此，这个理论仍然很含混；于是，黑暗中出现了一线曙光——“曲折”。罗素称之为“曲折”的这个词毫无疑问就是使艾皮米尼地斯狡辩（the argument of Epimenides）显得与众不同的独特之处。
1701057197
1701057198
庞加莱指的是艾皮米尼地斯的话“我在说谎”。这句话引出了一个悖论。如果他在撒谎，那么他在说真话；如果他在说真话，那么他在撒谎。
1701057199
1701057200
关于限量论，庞加莱争辩说：“如果一个类范围太广，它将没有理由存在下去。也许它可以是无限的，但它不应该大得过分了。但我们经常反复遇到同样的难题：在哪一个点上，它才开始变得过大？当然了，这个难题还没有解决，但罗素就接着去讨论第三个理论了。”(34)
1701057201
1701057202
接着，庞加莱矛头转向罗素的非类论。不过首先提醒大家注意，这是罗素在《会报》上发表的论文的结尾部分，罗素已经加了一个附录：“通过进一步的研究，我现在感觉到，对于这篇论文第一部分中叙述到的所有难题，非类论都能提供一个完整的解决办法，这几乎是没有什么疑问的。”(35)
1701057203
1701057204
庞加莱不是很赞成这种说法。他指责说，
1701057205
1701057206
在非类论中，不允许说“类”这个词，这个词必须用各种委婉的说法来代替。对于只谈类和类的逻辑来说，这是多么大的一个改变啊！重组整个逻辑变得很有必要。想象一下，在谈论一个类问题的地方，整页的逻辑会让所有的命题看起来怎样地压抑啊？在一页乏味的论述之中，将会只有零散的命题幸存下来。Apparent rari nantes in gurgite vasto（在一个巨大的漩涡中，只看到到处有人在游泳。）(36)
1701057207
1701057208
在继续谈到罗素的反应和反击前，我最好多写一点庞加莱的指责：
1701057209
1701057210
在多产的问题上，看起来库蒂拉特先生有些天真的幻想。照他的说法，逻辑给了创造以“支柱和翅膀”。接着，在下一页中有“10年前，皮亚诺就出版了他的《汇编》（Formulaire）”。有翅膀10年了，还没有飞起来，怎么会这样呢？
1701057211
1701057212
我对皮亚诺致以最高的敬意，他出产了很多杰作（例如，“空间填充曲线”这个现在弃用的术语）。但终归是，他还没有比大部分没有翅膀的数学家走得更远、更高、更快，也许他用他的双腿行走会更好。
1701057213
1701057214
相反，在逻辑中，我只看到了束缚创造的镣铐。它对简明没有帮助——而且差得很远。如果在说明1是一个数时需要27个函数，那么，要证明一个实定理的时候得需要多少个函数呢？(37)
[
上一页 ]
[ :1.701057165e+09 ]
[
下一页 ]