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数学恩仇录：数学家的十大论战 反 击
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为了确保庞加莱明白他的观点，罗素在庞加莱家乡的《形而上学与伦理学杂志》上做出他的回应。在1906年9月这一期上，他这样开头：
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我相信，庞加莱先生发表在这份期刊上的文章《数学与逻辑》（1906年5月）误解了我关于逻辑的性质和目的……同时，它还提出了困扰超穷集合论悖论的一个解决办法。庞加莱先生主张，这些悖论都起源于某种恶性循环，在这一点上，我同意他的说法。但他没有意识到避免这种恶性循环的难度。我应该努力说明，如果要避开它，像我的“非类论”之类的东西似乎是必需的。的确，正是为了这个目的，我发明了这个理论。(38)
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接下来是大约20页的解释，其中还包括对庞加莱的指责的其他回复。
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一个特别有趣的例子是他对庞加莱轻视皮亚诺的回复。罗素回应说：
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对于庞加莱先生对皮亚诺先生的评价，我必须满怀谦恭地斗胆提出与他不同的一点意见。（接下来罗素复述了庞加莱的指责——他还没有比……没有翅膀的数学家走得……，也许他用他的双腿行走会更好。）
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现在，我要向庞加莱先生表明，这只是说明皮亚诺先生的工作没有引起他的兴趣的一种表述方法。皮亚诺先生已经锻造出一个对某些研究来说具有巨大力量的工具。我们中的一些人对这些研究感兴趣，从而对皮亚诺先生充满敬意。我们认为，他正如我们中的这些人所敬重的那样，比那些忽视他的“无翅膀”的数学家走得远和快得多。(39)
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对于庞加莱对罗素非类论的评价，罗素这样回答：
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如果庞加莱先生能够抛弃对逻辑与数学任何其他门类都截然不同的信念，他也会意识到：在倡议不把类当作独立的实体上，我不是在倡议做出一个改变，以使它对于“重组所有逻辑”将是必须的；我也不希望禁止人们“说‘类’这个词”，就像哥白尼希望禁止人们说日出一样。
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换句话说，庞加莱的问题只是他不了解罗素在做什么。罗素写道：
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也许，一个类比会让大家明白，这个改变根本就不是那么大。现在广为接受的无穷小量微积分学，既不运用无穷小，也不以它为前提。但是这在多大的程度上改变了无穷小量微积分的面貌？几乎没有。某些证明被重写，某些困扰18世纪数学家的悖论已经解决了；否则微积分的规则会几乎没有改变。(40)
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罗素总结道：
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庞加莱先生告诉我们，“逻辑中更清楚的观念”不是我们需要的，但他没有向我们揭示他做出这个重要发现的过程。对我来说，我只能想，他对避免恶性循环的尝试说明了那些轻视逻辑的人的命运。(41)
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数学恩仇录：数学家的十大论战 争端仍在继续
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在又一次的反击中，庞加莱写道：
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不存在……实无穷。康托尔主义者已经忘了这个，并且他们已陷入矛盾中。的确，康托尔主义有用，但这是在运用到一个术语被精确定义的实际问题时……
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像康托尔主义者一样，逻辑主义者也会忘了它，并遭遇同样的困境。
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后来他又说：
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罗素察觉到了这种危险，并听取了劝告。他想改变一切，而且很容易理解的是，他不光在准备引进新的原理，这些原理的应用在以前是禁止的；他还在准备禁止一些他以前认为合理的应用。他已烧毁的他又重拾起来，他喜爱过的他又打算烧毁，而这种倾向更严重。他不给大厦加上一个新翼，反而掏空它的根基。(42)
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罗素在一篇新的论文中做出了回应，题目为《以类型论为基础的数理逻辑》（Mathematical Logic As Based on the Theory of Types），发表在1908年的《美国数学杂志》（American Journal of Mathematics）(43)上。在文中，他提出一个新的类型论。1909年，庞加莱在《形而上学与伦理学杂志》上发表名为《无穷的逻辑》（La logique de l’infini）的文章做出回应。文中，他给出了解决困扰逻辑悖论的方法，事后表明这是他在这上面最后的建议(44)。
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1. 只考虑能用有限语句定义的对象；
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2. 永远不要忘了，每一个关于无穷的命题肯定是一个关于有限的、转化了的、有所删改的陈述。
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3. 避免不肯定的定义和分类(45)。
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